文档介绍：北京工商大学 7-2- 1§ 数量积向量积*混合积两向量的数量积两向量的向量积两向量的混合积 北京工商大学 7-2- 2? cos | |||sFW ???? cos | |||baba ??????实例定义一、数量积 1. 定义数量积向量积*混合积一物体在常力作用下沿直线从点表示位移,F ? 1M , 2Ms ?F ?力所作的功为移动到点的夹角与sF ??向量的与ba ??数量积 ba ???为的夹角与ba ?? 北京工商大学 7-2- 3a ? b ??? cos | |||baba ???????? cos ||b ???? cos ||a ?结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. ???ba ??bja a??? Pr ||?重要|| Pra babj a??????? bj a?? Pr aj b?? Pr (两向量的数量积的几何意义)ajb b??? Pr |||| Prb baaj b???????数量积向量积*混合积 北京工商大学 7-2- 4 有: 、对非零向量,ba注为锐角?为钝角?关于数量积的说明: .|| 2aaa ?????,0??????aa ??证(1) (2) ?;0??ba?.0??ba?? cos | |||aa ??? cos | |||baba ??????.|| 2a ?(1) 数量积向量积*混合积 北京工商大学 7-2- 5)(?,0??ba ???,0||?a ?,0||?b ?,0 cos ???,2 ???.ba ???)(?,ba ????,2 ????,0 cos ???.0 cos | |||????baba ????证 0??ba ????.ba ???此时也称,0??ji ??(2) a ?b ?与正交. 说明,0??kj ??.0??ik ???互相正交、、 kji ???数量积向量积*混合积,1??ii ?,1??jj ?,1??kk 北京工商大学 7-2- 6 2. 数量积符合下列运算规律(1)交换律: abba ???????(2)分配律: cbcacba ?????????????)( (3)若λ为数??ba ??)(?若λ、μ为数: ??)()(ba ????(可用定义证) .||)4( 2aaa??为记aa? 0,??aa 此外 0??a . 2a ??)(ba ???)(ba ????)(ba ?????数量积向量积*混合积 北京工商大学 7-2- 7 向量的数量积不满足消去律, 向量的数量积是否满足消去律? ,caba ??????? ????事实上, ,caba ???????.0)(???cba ???是说, 垂直与即acb ????.0??cb 未必注.)()(bacbac ?????????? 平行于的向量 c ?b ?≠平行于的向量 0 ???a即在一般情况下, 数量积向量积*混合积 北京工商大学 7-2- 8 用向量的数量积,证明恒等式: 即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和(如图).证 2222||2||2||||bababa ??????????? 22||||baba ???????)()()()(babababa ????????????????bbbaaabbbaaa ????????????????????????22 22||2||2ba ???? a ? b ?ba ???ba ???数量积向量积*混合积 北京工商大学 7-2- 9,kajaiaa zyx???????kbjbibb zyx???????设??ba ??)(kajaia zyx?????)(kbjbib zyx?????? kji ??????0???????ikkjji ??????1||||||???kji ????1???????kkjjii ?????? zzyyxxbabababa??????数量积的坐标表达式 3. 用坐标表示式计算数量积分配律数量积向量积*混合积 北京工商大学 7-2- 10? cos | |||baba ??????| ||| cos ba ba???????? 222222 cos zyxzyx zzyyxxbbbaaa bababa????????两向量夹角余弦的坐标表示式???ba ??0??? zzyyxxbababa 由此可知两向量垂直的充要条件为 4. 两向量的夹角(数量积在几何中的应用) 数量积向量积*混合积