文档介绍：1数理方程与特殊函数 2 齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解本次课主要内容(一)、齐次化原理方法(二)、固有函数值展开方法 3 ??????????????)(),0( ),(),0( 0),()0,( )0,0 )(,( 2xxuxxu Ltutu Lxtxtfuau t xx tt??先讨论如下定解问题求解: 分析:定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振动,于是,可设问题的解为: ( , ) ( , ) ( , ) u x t V x t W x t ? ?(一)、齐次化原理方法 4 于是所给的定解问题分解成两个简单的定解问题 2 ( , 0) ( , ) 0 * (0, ) ( ), (0, ) ( ) tt xx t V a V V t V t L V x x V x x ? ????? ???? ???? 2 ( , ) ( , 0) ( , ) 0 ** (0, ) 0, (0, ) 0 tt xx t W a W f t x W t W t L W x W x ?? ??? ???? ????其中, V(x,t) 表示初始状态引起的弦振动位移,而 W(x,t) 表示强迫振动引起的弦振动位移。 5 齐次化原理 1(推广)齐次化原理回顾?? 220 , (0 , ) 0, 0 0, , x x l t t L x l t t f x t ? ??? ?? ??? ?? ?? ???? ???????? ?????? ?????? 220 0 0 , , (0 , 0) 0, 0 0, 0 x x l t t u Lu f t x x l t t u u uut ? ?? ???? ? ???????? ?????? ??????. .0 , ; t u W t x d ? ???如果( , ; ) W x t ?满足方程: 那么非齐次定解问题的解为: 6 齐次化原理 2(推广)?? 00 , , (0 , 0) 0, 0, 0 x x l tu Lu f t x x l t t u u u ? ????? ? ???????? ??????????? 0 , 0 , , 0, 0, , , x x l t L x l t t f x ??? ?? ?? ?? ????? ???????? ?????????. .0 , ; t u W t x d ? ???如果( , ; ) W x t ?满足方程: 那么非齐次定解问题的解为: 7 例 1 解定解问题:?? 22200 1 , 0 , 0 00 ht x x L t u u x a A e x L t t x L u u u ?? ???? ?? ?? ?????? ??? ?? ???? ???????解:考虑相应齐次方程的定解问题????????????????????????????????????? h t LxxeL xAW W W tLxx Wat W1 0 0,0, 0 2 22 8 ??????????????????????? 1 2 sin )( exp 2),,( nL xnhtL ann AxtW ??????由齐次化原理 2,有: . .0 2 2 2 2 1 ( , ) ( , , ) 2 1 exp sin [( ) ] t ht n u x t Wt x d AL