文档介绍：第五章习题解 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为 0r 、电荷均匀分布的小球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解:这种分布只对 0rr?的区域有影响,对 0rr?的区域无影响。据题意知)()( ? 0rUrUH???其中)( 0rU 是不考虑这种效应的势能分布,即 r zerU 0 24 ????) ( )(rU 为考虑这种效应后的势能分布,在 0rr?区域, r Ze rU 0 24 )( ????在 0rr?区域, )(rU 可由下式得出, ???? r Edr erU)(?????????????)(4 )(,4 3 44 1 0 20 0300 3303 4 20rrr Ze rrrr Ze rr Ze rE ??????????????)( r rr Edr e Edr erU?????? 20 2300 2144 r rrdrr Ze rdr r Ze ????)3(8 4 )(8 220300 200 2220300 2rrr Ze r Ze rrr Ze?????????????)( 0rr???????????????)(0 )(4 )3(8 )()( ? 0 00 2220300 20rr rrr Ze rrr Ze rUrUH ????由于 0r 很小,所以)(2 ?? 0 2 2)0(rUHH?????????,可视为一种微扰,由它引起的一级修正为(基态 ra Zea Z 2/130 3)0(1)( ????) ???????dHE )0(1 *)0(1 )1(1??????? 0 2 20 2220300 230 34]4 )3(8 [ r ra Zdrrer Ze rrr Ze a Z??????∴ 0ar ??,故 1 2??ra Ze 。∴?????? 0 300 240 422030 300 24)1(1)3(2 rr rdr a eZdrrrrra eZE ???? 20300 24 50 5030 300 242 )5 (2 ra eZ rrra eZ ???????? 20300 2410 ra eZ ??? 2030 245 2ra eZ s?# 转动惯量为 I、电偶极矩为 D ?的空间转子处在均匀电场在??中,如果电场较小,用微扰法求转子基态能量的二级修正。解:取??的正方向为 Z轴正方向建立坐标系,则转子的哈米顿算符为??? cos ?2 12 ?? 2 2DLI DI LH???????取?? cos ?, ?2 1? 2)0(DHLI H????,则 HHH ??????)0(由于电场较小,又把 H ??视为微扰,用微扰法求得此问题。)0(?H 的本征值为 2 (()))1(2 1??????I E 本征函数为),( )0(??? mY ???)0(?H 的基态能量为 0 00?) (E ,为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知????????)0()0(0 20)2(0HEE E???????????????ddYDYdHH m sin ) cos ( ? 00 *)0(0 )0*(0???????????ddYYD m sin ) (cos 00 *??????????ddYYD m sin 4 13 4 10 *????????ddYY D sin 3 10 *0?13 ???D??ID IDEE E 222 212 22')0()0(0 20')2(03 1)1(3 2 H???????????????????????# 设一体系未受微扰作用时有两个能级: 02 01EE及,现在受到微扰 H ??的作用,微扰矩阵元为 bHHaHH???????? 22 11 21 12, ;ba、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解:由微扰公式得 nn nHE ??)1(???? mmn mn nEE HE )0()0( 2')2(得bHEbHE?????? 22 )1(02 11 )1(0102 01 2001 21')2(01EE aEE HE mm m?????? 01 02 2002 21')2(02EE aEE HE mm m??????∴能量的二级修正值为 02 01 201 1EE abEE???? 01 02 202 2EE abEE????# 设在 0?t 时,氢原子处于基态,以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为 t sin ??,?及?均为零;电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻 t 跃迁到电离态的几率。解: ①当电离后的电子动能为零时,这时对应的单色光的频率最小,其值为 2 41 min min2?? seEEhv ???????h ev s2 4 min2???