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构造直角三角形解题
在解某些数学问题时，若能根据题意构造出直角三角形，则可利用直角三角形的性质，: .
构造直角三角形解题
在解某些数学问题时，若能根据题意构造出直角三角形，则可利用直角三角形的性质，巧妙地将题目解出。下面举例说明。
1、求线段长
［例1］在四边形ABCD中，/A=60°,/B=90°,ZD=90°,AB=2,CD=1。求BC和AD的长。
解：延长AD、BC交于F，得RtAABF和RtACDF，且/F=30°。
在RtAABF中，由AB=2，/F=30
得AF=2AB=4
BF=.AF2-AB2二、42-2=
同理可得CF=2，DF=3
•••BC=BF—CF=-2，AD=AF—DF=4—、3。
2、求角的度数
［例2］如图，在△ABC中，/ABC=45。，/ACB=60°，D在AC的延长线上，AB=6CD。求/CBD。
解：作AE丄BC于E,连DE，在RtAABE中
AB=2AE,BE=AE，在RtAAEC中，AC=2CE
所以AE=J3CE。贝UAB=,2....3CE」6CE
而AB=6CD,故CE=CD
/仁/2=丄/ACB=30°2
又/EAC=30。，所以DE=AE=BE
所以/CBD=/3=-/1=15°2
3、证线段倍分［例3］如图，/B=90°,/1=/2=60°，/C=45°,求证：CD+BD=AB。
证明：把厶ABD绕AD翻转到△AB'D的位置，贝UB'D=BD,AB'=AB，/B'=/B=90o,Z2=Z3。
由/1+Z2+Z3=180°,知C、D、B'三点共线，故△AB'C为等腰直角三角形，从而有：CD+B'D=AB'，二CD+BD=AB。
4、证不等
［例4］如图，在△ABC中，BC>AC,AD、BE为高,求证：BC+AD>AC+BE。
证明：由题意，在BC上取一点A，使A'C=AC，作AD丄AC于D',A'F丄BE于F,则四边形EFA'D'为矩形，得A'D'=FE
又有RtAA'D'C也Rt△ADC，于是A'D'=AD
•••BA'=BC—A'C=BC—AC
BF=BE—FE=BE—A'D'=BE—AD
在RtAA'BF中，BA'>BF，即BC—AC>BE—ADBC+AD>AC+BE.
5、解三角问题［例5］°的值。
解：构造如图所示的Rt△ABC，则BC21
=21AC1
6、解代数问题［例6］右a>3，求证：a-1-.a-3〉-•：a-a-2。
证明：作出如图所示的RtAABC，由BD+AD>AB，得a-2（、a-1一a-3）a
•a~1-■a-3a-■a-2R
7、求最值［例7］若m、n、p为正实数，且m2•n2—p2=0，求：一—的最小值m+n
解：构造如图所示的直角二角形，易知CD<AE，即m2pP、•2王mn一2
故忌的最小值为子
rt［例8］求•x7•...(4—x)4的最小值。
解:构造如图所示的RtAPAC,RtAPBD,使AC=1,BD=2,PC=x,CD=4,且PC、PD在直线L上，则所求最小值转化为“在直线L上求一点P,使PA+PB的值最小”，取A点关于L的对称点A'，则有：
原式=PA+PB>A'B=』3242「=5
故,x2「(4—x)2的最小值是5
构造直角三角形解题
在解决一些线段或角的数量关系问题时，根据已知图形的特征，可考虑构造直角三角形，以运用直角三角形的边角关系求解.
•等腰三角形问题例1如图1,D为等腰△ABC的底边BC的延长线上的任意一点.
求证AD2-AC2=DB-DC证明作AELBC于E,VAB=AC,/•BE=EC根据勾股定理，有a3ac2=(ae2+eD)-(ae2+ec)2eD-ec2=(ED+EC)(ED-EC)=DB-CD•面积问题例2如图2，已知△ABC中，/B=60°，ZC=75°，^ABC的面积为|(3+73),若BC=a,贝lja=[](A)l.(B“扭・Q2.(D)73解作CDLAB于D,•/ZB=60°,二BD=BCcos60fl=丄幻2ZA=180°-60°-75°=45°AABC的面积为|（3+旃）,解得a=2，故选C,
3 .直角问题
例3如图3,在四边形ABCD中,
AB：BC：CD：DA=2：2：3：1,
且/B=90°,求/DAB的度数.
團3