文档介绍：非欧几何带给我们的启示
韩志涛【摘要】历史上有一些事件影响深远,这样的事件之所以影响深远,是因为它们改变了人们的观念,然而历史上还没有哪个事件像非欧几何这样深刻地改变了人们的世界观,带给人们的是空前绝后的震撼,本文阐述了非欧几设,并且终其一生,毫无成就,内心充满了失望。其子约·鲍耶也去钻研这一难题,而且在彼此并没有通讯的情况下发表非欧几何的成果,但是比罗巴切夫斯基迟了几年。因此,约·鲍耶也成为非欧几何的创始人之一。
约·鲍耶得到了新的几何,称之为绝对空间中的几何,许多结果与高斯的结果是一致的,如正弦定理为:
罗巴切夫斯基发表非欧几何以后得到的是什么呢?他得到的并不是荣誉,而是人们的冷嘲热讽,人们并不接受他的思想,而是把它当作奇谈怪论,不切实际的东西,人们认为欧式几何才是这个世界的真实描述,罗巴切夫斯基备受挖苦与攻击,他们说,欧几里得两千多年前给我们留下的巍巍宝殿的基石被人挖去,这座神圣的殿堂会倒塌。学报呈报给俄国科学院后,也被审稿的院士轻率的认为,不值得科学院去注意而否定了。可见传统的观念多么强大。
继罗氏几何后,德国数学家黎曼在1854年又提出了新的非欧几何,这种几何中:同一平面上的任何两直线一定相交。同时,还对欧氏几何的其他公理做了部分改动。在这种几何里,有不同于欧氏几何的地方,三角形的内角和大于两直角。人们把这种几何称为椭圆几何。
为了考查更一般的几何,黎曼考虑了一般的度量:
这种空间具有常数曲率,是非欧几何很好的模型。
可以想象一個球面,球面是没有直线,球面上两个点之间的最短线是大圆,而大圆和大圆都是相交的。任意三个大圆构成的三角形,内角的和超过180度。
人们要问传统的几何与罗巴切夫斯基几何不同之处是什么呢?主要是公理系统,第五公设变成了 “在平面内,从直线外一点,至少可以做两条直线或者两条以上和这条直线平行”,只有这么一个地方做了改动,其他公理基本保持不变。但是由于平行公理替换了,经过同样的演绎推理,得到的一连串新的几何命题却是让人目瞪口呆,因为和欧式几何内容完全不同。
现在来看两种几何,罗氏几何中除了一个平行公理之外,其他的都是欧式几何的存在的公理。因此,一个几何命题是否正确主要是看它是否涉及到平行公理,如果不涉及平行公理,则它在欧式几何中是正确的,在罗氏几何中也同样应该是保持正确性的。相反,在欧式几何中,一个命题只要涉及到平行公理,在罗氏几何中应该都不能够成立,他们都应该有了新的几何意义。由于违反常识,罗氏几何中的很多几何定理不像欧式几何那样容易被人们接受。但是,数学家们研究发现,用欧式几何中的事实,作一个直观“模型”来解释罗氏几何应该是可行的。
伟大的数学家高斯离开世界以后,人们在整理他的书稿时,吃惊地发现,高斯也曾经深入地研究了非欧几何,由于高斯的无与伦比的威望和才能,人们对非欧几何的责难的声音才渐渐地微弱了,非欧几何,一改过去长期无人问津的局面,开始获得数学家的普遍注意和深入研究,并且取得了许多新的成果,学术界高度评价和一致赞美罗巴切夫斯基,他的独创性研究也就得到广泛承认,人们称赞他为“几何学中的哥白尼”。
德国伟大的数学家黎曼在十九世纪创立了黎曼几何。黎曼几何中的一条定理是:在同一平面内任何两条直线(这里指的是测地线)都应该有公共点。