文档介绍：数值分析数值积分
第1页，共46页，编辑于2022年，星期六
数值积分引言
计算定积分
微积分基本公式：
(2) f (x) 表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表。
但是在许多实际计算问题中
(1) f (x求积公式的代数精度为 m 次。
要验证一个求积公式具有 m 次代数精度，只需验证对 f (x)＝1, x, x2, … , xm 精确成立，但对 f (x)＝xm+1 不精确成立即可，即：
( k = 0, 1, … , m )
第9页，共46页，编辑于2022年，星期六
已知：求积公式对于xk（k=0，1，…，m）均能准确成立
求证：求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立
证明：
由已知条件知
（k=0，1，…，m）
证明两种说法的等价性
第10页，共46页，编辑于2022年，星期六
则
即：求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立
第11页，共46页，编辑于2022年，星期六
举例（一）
例：试确定系数 i ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。
解：
将 f (x)＝1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立得
解得 0 =1/3, 1 =4/3, 2 =1/3，所以求积公式为
易验证该公式对 f (x)＝x3 也精确成立，但对f (x)＝x4 不精确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。
第12页，共46页，编辑于2022年，星期六
矩形和梯形公式的代数精度
容易验证：
左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代数精度
中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代数精度
特别地，具有 m ( 0 ) 次代数精度的求积公式满足：
辛甫生公式具有 三次 代数精度
第13页，共46页，编辑于2022年，星期六
如何求解求积公式
我们可以用代数精度作为标准来构造求积公式.
譬如两点公式
式中含有两个待定参数 A0，A1，
令它对于 f（ x）=1，f（ x）= x 准确成立，有
第14页，共46页，编辑于2022年，星期六
解之得 A0=A1=（b-a）/，形如（5）且具有一次代数精度的求积公式必为梯形公式（1）.这一论断从几何角度来看是十分明显的.
如何求解求积公式
第15页，共46页，编辑于2022年，星期六
如何求解求积公式
第16页，共46页，编辑于2022年，星期六
如果求积节点并没有确定，则待定参数有几个？
有2n+2个
能够达到的代数精度是多少？
2n+1个
此时的方程为非线性方程
思考题
第17页，共46页，编辑于2022年，星期六
插值型求积公式
基本思想
由已知的n+1个点以及在这n+1个点上的函数值，作拉格朗日插值，得到pn(x)
则
第18页，共46页，编辑于2022年，星期六
插值型求积公式
设 f (x) 在节点 上的函数值为 f (xi)，作 n 次拉格朗日插值多项式
于是有
其中 。
插值型求积公式
误差：
第19页，共46页，编辑于2022年，星期六
插值型求积公式
由于 n 次拉格朗日插值对 f (x)＝1, x, x2, … , xn 精确成立，所以 n 次插值型求积公式的代数精度至少为 n 次。
代数精度：
反之，如果求积公式 的代数精度至少为 n 次，则它必定是插值型的。
简证：求积公式对拉格朗日插值基函数 lk (x)精确成立，
即有
定理
求积公式 至少具有 n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。
第20页，共46页，编辑于2022年，星期六
结论
定理 1 形如（4）的求积公式至少具有 n 次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的.
问题：
（1）如何判定一个求积公式是插值型的？
（2）如何求作一个插值型的求积公式？
第21页，共46页，编辑于2022年，星期六
例题1
试检查下列求积公式的代数精度：
解 直接检查易知，原式对于 准确成立，但当
时其左端=1/5，而
右端=
左右两端不相等，故所给求积公式仅有三阶精度。
第22页，共46页，编辑于2022年，星期六
例题2
试构造下列求积公式，使其代数精度尽量高，并证明所构造出的求积公式是插值型的：
第