文档介绍：有限元分析平面问题有限单元法
第1页，共27页，编辑于2022年，星期六
内容平面问题的有限元法 1
连续体的离散化
常应变三
qi
O’
局部坐标系单元变形
e
i
j
△j
fj
△i
fi
y’
x’
O’
回顾
第5页，共27页，编辑于2022年，星期六
总体刚度矩阵的组装
P
P
1
4
3
2
1
2
3
4
5
6
组装原理：
位移协调条件
节点平衡条件
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等
节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
回顾
最终数学模型：
第6页，共27页，编辑于2022年，星期六
基本概念
回顾
单元（element）
节点 (node)
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
整体刚度矩阵组装原理
总体刚度矩阵，载荷向量，刚度方程
第7页，共27页，编辑于2022年，星期六
新问题：连续体的有限元分析
如何离散化？
如何单元分析？
如何组装单元？
第8页，共27页，编辑于2022年，星期六
一、连续体的离散化
人工节点
逼近性离散
节点位置，单元形状、大小都会影响对原始结构的逼近描述
平面问题: 三角形、矩形、任意四边形…
空间问题: 四面体、正方体、任意六面体…
第9页，共27页，编辑于2022年，星期六
单元分析的理论基础：
二、平面问题三角形单元分析
建立三角形单元节点力与单元节点位移之间的关系
单元分析的目的：
弹性力学基本理论
vm
um
vj
vi
ui
i (xi , yi)
j (xj , yj)
m (xm , ym)
e
uj
y
x
o
Fym
Fxm
Fyj
Fyi
Fxi
i (xi , yi)
j (xj , yj)
m (xm , ym)
e
Fxj
y
x
o
单元节点位移
单元等效节点力
(基本变量，基本方程，边界条件)
～
？
第10页，共27页，编辑于2022年，星期六
二、平面问题三角形单元分析
平面问题弹性力学基本理论回顾：
基本变量
几何方程
平衡方程
物理方程
平面应力问题
平面应力问题
第11页，共27页，编辑于2022年，星期六
单元变形分析（位移）
问题：平面三角形问题中仍包含无穷多内部连续点，如何用节点位移表征内部连续位移？
二、平面问题三角形单元分析
解决思路：插值，即用节点位移插值近似其它点的位移。
vm
um
vj
vi
ui
i (xi , yi)
j (xj , yj)
m (xm , ym)
e
uj
y
x
o
如何插值？
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。
第12页，共27页，编辑于2022年，星期六
二、平面问题三角形单元分析
单元变形分析（位移）
vm
um
vj
vi
ui
i (xi , yi)
j (xj , yj)
m (xm , ym)
e
uj
y
x
o
插值系数的确定：待定系数法
6个方程
6个系数
第13页，共27页，编辑于2022年，星期六
二、平面问题三角形单元分析
矩阵表达和运算
令
A为三角形单元的面积
[T]*为[T]的伴随矩阵：
第14页，共27页，编辑于2022年，星期六
二、平面问题三角形单元分析
矩阵表达和运算（续）
令
同理，由
回代，得
第15页，共27页，编辑于2022年，星期六
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
令
得
单元内各点位移：
单元节点位移：
形函数
第16页，共27页，编辑于2022年，星期六
例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵[N]。
i
j
m
第17页，共27页，编辑于2022年，星期六
由三角形的面积