文档介绍：第一章希波克拉底的求新月形面积定理(公元前约 440 年) 论证数学的诞生我们对人类远古时代数学发展的认识,在很大程度上依靠推测,是根据零星的考古资料建偶: 学者的猜测拼凑而成的。显然,随着公元前 15000 至 10000 年间农业的发明人类不得不应付两个最基本的数学概念(至少是以初步形式) :量和空间。量的概念或“数”的概念是在人们数羊或分配粮食时产生的,经过历代学者几百年的推敲和发展, 量的概念逐渐形成了算术,后来又发展成代数。同样,最初的农夫也需要认识空间关系,特别是就田地和牧场的面积而言,随着历史的发展,这种对空间的认识就逐渐形成了几何学。自从人类文明之初,数学的两大分支——算术和几何,就以一种原始的形式共存。然而,这种共存并非永远和谐。数学史上一个持续的特征就是在算术与几何之间始终存在着紧张关系。有时,一方超过了另一方,有时,另一方又比这一方在逻辑上更占优势而一个新发现,一种新观点,都可能会扭转局面。也许,有人会感到奇怪,数学竟然像美术、音乐或文学一样,在其漫长而辉煌的历史进程中,同样存在着激烈的竞争。我们在古埃及文明中, 发现了数学发展的明显迹象。古埃及人研究的重点是数学的应用方面, 以数学作为工具, 促进贸易、农业和日益复杂的日常生活其他方面的发展。根据考古记载, 在公元前 2000 年以前, 埃及人已建立了原始数系,并具备了某些有关三角形和棱锥体等的几何概念。例如,据传说,古埃及建筑师用一种非常巧妙的方法确定直角他们把 12 段同样长的绳子相互连成环状(如图所示) ,把从 B到C 之间的五段绳子拉成直线,然后在 A 点将绳子拉紧, 于是就形成了直角 BAC 。他们将这种构形放在地上, 让工人们按照这个构形在金字塔、庙宇或其他建筑的拐角处建成标准的直角。这种构图表明, 古埃及人已对直角三角形的毕达哥拉斯垂上夜系有所认识。他们似乎懂得,边长为 3、4和5 的三角形肯定会含有直角。当然, 32+42=9+16=25=52 ,我们从中可以看到在所有数学关系中最重要的关系之一——勾股关系的早期曙光(见图 )。从技术角度说, 古埃及人的这种认识还不是勾股定理本身。勾股定理申明,“如果△ BA 是直角三角形,则 a2=b2+c2 ”。而古埃及人的认识则是勾股定理的逆定理,“如果 a2= b2+c2 ,则△ BAC 是直角三角形”。也就是说, 关于命题“如果 P, 则Q”, 对其相关命题“如果 Q,则P”, 我们称之为逆命题。我们将会看到, 一个完全正确的命题, 其逆命题可能是错误的,但著名的勾股定理则不然,不论正命题,还是逆命题,都是正确的。实际上,这些就是我们将在下一章讨论的“伟大定理”。虽然古埃及人对 3-4-5 直角三角形的几何性质有所认识,但他们是否具有更广义的理解, 例如, 对于同样含有直角的 5-12-13 三角形或 65-72-97 三角形( 因为在这两个三角形中, 都是 a2=b2+c2 ), 则还是个疑问。更重要的是,没有迹象表明,古埃及人是如何证明这些关系的。也许,他们掌握某些逻辑论证,以支持他们对 3-4-5 三角形的观察;也许,他们仅仅是靠反复试验。但无论如何,在埃及的文字记载中都没有发现通过严密的逻辑推理,证明一般数学规律的迹象。下面的古埃及数学例子也许可以给人以启发:这是他们发现截棱四棱锥体积的方法—