文档介绍：立体几何题库（ 10）
310. 平面α内有一个半圆， 直径为 AB，过 A 作 SA⊥平面α，在半圆上任取一点 M，连 SM、
SB，且 N、H 分别是 A 在 SM、SB上的射影 .(1) 求证： NH⊥ S，易求得
FG＝ 3a .
3
点评 (1) 求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求
点面之间的距离， 有时也可转化为求面面距离， 从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路 .
313. . 已知：α∩β＝ CD， EA⊥α， EB⊥β，求证： CD⊥ AB.
314. 求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等 .
已知： a∥ b， a∩α＝ A1,b ∩β＝ B1，∠θ 1、∠θ 2 分别是 a、 b 与α所成的角 . 如图，求证：
∠θ 1＝∠θ 2.
证：在 a、 b 上分别取点 A、 B. 如图，且 AA1＝ BB1，连结 AB 和 A1B1.
∵AA1∥ BB1
∴四边形 AA1B1 B是平行四边形 . ∴ AB∥ A1B1
又 A1B1 α ∴ AB∥α .
设 AA2⊥α于 A2， BB2⊥α于 B2，则 AA2＝BB2
在 Rt
AA1A2 与
Rt
2211
BB1B2 中 AA ＝BB，AA＝BB
Rt AA1A2≌ Rt BB1B2
∴∠ AA1A2＝∠ BB1B2
即 ∠θ 1＝∠θ 2.
315. 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线， 如果斜线和这个角两边的夹角相等， 那么
斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线 .
已知：∠ ABC α ,P α , ∠ PBA＝∠ PBC,PQ⊥α， Q∈α，如图 .
求证：∠ QBA＝∠ QBC
证： PR⊥ AB于 R， PS⊥BC于 S.
则：∠ PRB＝∠ PSB＝90° .
∵PB＝ PB.∠ PBR＝∠ PBS
Rt PRB≌ Rt PSB
∴PR＝ PS
∵点 Q是点 P 在平面α上的射影 .
∴QR＝ QS
又∵ QR⊥ AB， QS⊥ BC
∴∠ ABQ＝∠ CBQ
316. 如图， E、F 分别是正方体的面 ADD1A1，面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体
的面上的射影可能是 ( 要求：把可能的图的序号都填上 )
解 ∵四边形 BFD1E 在正方体的一对平行面上的投影图形相同， 在上、下底面上， E、F 的射
影在棱的中点，四边形的投影图形为②，在左右侧面上， E、F 的连线垂直侧面，从而四边
形的投影图形为③，在前后侧面上四边形投影图形也为② . 故应填②③ .
如图， A1B1C1— ABC是直三棱柱，∠ BCA＝ 90°，点 D1， F1 分别是 A1B1，A1C1 的中点，若
BC＝ CA＝ CC1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是 ( )
A.
30
B. 1
C.
30
D. 15
10
2
15
10
解 连 D1F1，则 D1F1⊥ A1C1，又 BC⊥ CA，所以 BD1 在平面 ACC1A1 内的射影为 CF1，设 AC＝ 2a，
则 BC＝ CC1＝ 2a. 取 BC的中点 E，连 EF1，则 EF∥ BD1.
∴cos θ
＝ cos∠ EF C＝
CF1
＝
5a
＝
5
，
1
1
EF1
6a
6
cos θ 2＝ cos ∠AF1C＝ ( 5a)2
( 5a)2
(2a) 2
＝ 3
，
2
5a
5a
5
∴ cos θ＝ cos θ 1· cos θ 2＝ 5 · 3 ＝ 30 ，应选 A.
6 5 10