文档介绍：抽象的意义---突破人想象力的局限
1、代数学：代数X既不是1、2、3，又可以是1是2是3
2、微分方程：同一方程既可以描述热传导，也可以描述化学扩散
3、抽象空间：哈密顿空间、系综相空间
4、指标符号系统：矢量与张量
第一页，共五十八符与其它项连乘时，可作指标替换
第十三页，共五十八页。
性质：
第十四页，共五十八页。
三．Ricci 符号
定义：
共27个分量，亦称为排列符号或置换符号
即：
特殊的指标符号
第十五页，共五十八页。
矩阵的行列式可表示为:
第十六页，共五十八页。
§A－2 张量的定义和
代数运算
说明
任意矢量可以表示为基矢量的线性组合
1
2
基矢量不是唯一的
1. 矢量的基本运算
第十七页，共五十八页。
(1)点积
基矢量点积
任意两矢量的点积
1
2
投影
第十八页，共五十八页。
1
(2) 叉积
基矢量的叉积
第十九页，共五十八页。
由于
特别地：
（比较：
）
第二十页，共五十八页。
两个任意矢量的叉积
2
第二十一页，共五十八页。
(3) 混合积
基矢量混合积
故也有定义
1
置换符号就是基矢量的混合积
第二十二页，共五十八页。
矢量混合积
表示的是以 为边长的平行六面体的体积。
2
第二十三页，共五十八页。
(4) 并矢（并乘）
定义：
展开共9项， 可视为并矢的基
为并矢的分解系数或分量
第二十四页，共五十八页。
2. 平面笛卡儿坐标系的旋转变换
第二十五页，共五十八页。
互为逆矩阵
互为转置矩阵
第二十六页，共五十八页。
为正交矩阵
第二十七页，共五十八页。
引用指标符号：
由
又
互为逆矩阵
第二十八页，共五十八页。
说明
1
2
矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律
第二十九页，共五十八页。
3. 三维情况 (三维坐标系旋转)
考虑一位置矢量
第三十页，共五十八页。
同理
同二维问题，可得
（正交性）
可试证：
第三十一页，共五十八页。
4. 张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量
自由指标数目n称为张量的阶数，对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。
第三十二页，共五十八页。
采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）
可写成上式的量也称为张量（第二种定义）
基矢量的坐标变换符合前述要求
标量：零阶张量
矢量：一阶张量
张量：二阶张量
第三十三页，共五十八页。
讨论
1
2
上述表达式具有不变性特征；
张量分量 与坐标系有关；
3
在坐标变换时遵循相同的变换规律
第三十四页，共五十八页。
问题的提出
自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平衡方程）
坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质，并且相关表达式冗长
如何解决?
引入张量方法
第三十五页，共五十八页。
1. 张量的数乘
张量代数
2. 张量的加法
第三十六页，共五十八页。
3. 矢量与二阶张量的点积
1
2
左点乘：
右点乘 :
点乘得到的新张量比原张量低一阶
张量代数
1
左点乘：
第三十七页，共五十八页。
3. 矢量与二阶张量的点积
张量代数
点积相当于指标缩并，导致张量阶数降低
二阶张量相当于一个线性变换，或空间转移
第三十八页，共五十八页。
张量代数
4. 矢量与二阶张量的叉积
1
左叉乘：
叉乘得到的新张量与原张量同阶
2
右叉乘 :
第三十九页，共五十八页。
张量代数
4. 两个张量的点积
两个二阶张量点积得到一个新二阶张量，相当于矩阵相乘
两个任意阶张量点积得到一个新张量，阶数是两个原张量之和减2
第四十页，共五十八页。
张量代数
5. 两个张量的双点积
两个任意阶张量双点积得到一个新张量，阶数是两个原张量之和减4
第四十一页，共五十八页。
张量代数
6. 张量的缩并
张量缩并后得到一个新张量，阶数较原张量低二阶
二阶张量的“迹”，就是在其并矢的两个矢量间取点积
第四十二页，共五十八页。
张量代数
7. 张量的转置
对于对称张量，一定可以找到三个互相正交的主方向
应力张量与应变张量均为对称的二阶张量
第四十三页，共五十八页。
张量代数
7. 张量的转置
第四十四页