文档介绍：对数与对数函数专题
［最新考纲］
.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数 或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点，会画
一，1一，…
)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化
简、证明常用的技巧.
训练 1 (1)已知 loga2=m] loga3=n,则 a2*n =.
(2)lg 25 + 1g 2 • 1g 50 + (1g 2) 2 =.
解析(1)am= 2, an= 3,
, =(am)2 • an = 22x3=12.
⑵原式=(1g 2) 2 + (1+1g 5)1g 2+1g 5 2
= (1g 2 +1g 5 +1)1g 2 +21g 5 =(1+1)1g 2 +21g 5
= 2(1g 2 +1g 5) =2.
答案⑴12(2)2
考点二 对数函数的图象及其应用
.. 1 .
例2 (2012 •新课标全国卷)当0V x02时，4 <1ogax,则a的取值范围是().
)'J C . (1 '的
审题路线 在同一坐标系下作出两个函数 y = 4x与y = 1og水的图象？画函数y= log ax的图象可考虑两种情况：a>1和0<a<1?观察图象，当a>1时不符合 题意舍去，所以只画出0<a< 1的情形？观察图象的交点)1, 2 j满足条件：log, 1-
2>2即可.
x 1111
解析 由题息得，当0<a<1时，要使得4 <1og ax^0<x<2j,即当0<x02时, 函数y = 4x的图象
在函数y= log ax图象的下方.
1
又当x = 1时，& 2 =2,即函数y=4x的图象过点[2, 2.)把点2，21弋入函数 y=1og ax,
得a=呼,若函数y = 4x的图象在函数y = log ax图象的下方，则需乎<a<1（如 图所示）.
当a>1时，不符合题意，舍去.
所以实数a的取值范围是偿，1 .
答案 B
规律方法一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数
形结合法求解.
训练2设方程10x=|lg（ -x）|的两个根分别为xi, X2,则（）.
A. XiX2< 0B. XiX2=1
C. XiX2>1D. 0<XiX2<1
解析 构造函数丫=10、与丫=顺 —x）| ,并作出它们的图象，如图所示.
因为%，叼是10” = IIn-X）I的两个根，则两个函数图象 交点的横坐标分别为/声2 ,不妨设汇2 < -1,-1 <Xl <0, 则 10,=-崛-% ）, 10% = 1g （-叼），因此 10—10%= 1式二产2），因为10*2 - 10, < 0,所以加（％产2 ） 〈仇即0 < 北产2 < L
答案 D
考点三对数函数的性质及其应用
例 3 （1） 设 a= log 36, b=log510, c=log714,则（）.
.a>b>c
A. c>b>aB. b>c>a
C. a>c>b
“Og2X, x>0,
⑵设函数f(x) =< 10g 1 _x xvo 若f(a) >f(—a),则实数a的取值 .2
范围是().
A. (-1,0) U(0,1)B. (—8, — 1) U(1 , +oo)
C. ( -1,0) U(1 , +oo) d . (—8, — 1) U(0,1)
解析 (1) a= log 36= 1+log 2，b= log 510= 1 + log 52, c= log 714= 1 + log 72,
则只要比较log 32, log 52, log 72的大小即可,在同一坐标系中作出函数 y = log3x,
y = log5x, y=log7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知 a>b>c.
(2)由题意可得
；a>0,
[log 2a >— log 2a
解得a>1或—1< a<
a<0,
或“log 1 —a >log 2 —a ,
.2
0.
答案(1)D (2)C
规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利 ，一定要明确底数 a的取值对函
数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
【训练3】(1)
若 xC(e' 1), a=ln x, b=g|nx, c =elnx,则 a, b, c
B. b>c>a
D. b>a>c
的大小关系为().
A. c>b>a
C. a>b>c
⑵函数f (x) =loga(ax —3)在［1,3］上单调递增，则a