高中数学解题方法分类讲义(第一讲)--函数题型与解题方法.pdf

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域为 (0，2)，求下
列函数的定义域：
分析： x 的函数 f(x 2 ) 是由 u=x 2 与 f(u) 这
两个函数复合而成的复合函数， 其中 x 是自
变量， u 是中间变量．由于 f(x) ，f(u) 是同
一个函数，故(1) 为已知 0＜u＜2，即 0＜x 2 ＜
2．求 x 的取值范围．
解： (1)由 0＜x 2 ＜2， 得
说明： 本例 (1) 是求函数定义域的第二种
类型，即不给出 f(x) 的解析式，由 f(x) 的
定义域求函数 f[g(x)] 的定义域．关键在于
理解复合函数的意义，用好换元法． (2) 是
二种类型的综合．
求函数定义域的第三种类型是一些数学
问题或实际问题中产生的函数关系， 求其定
义域，后面还会涉及到．2．求函数值域的基本类型和常用方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共
同决定的．其类型依解析式的特点分可分三
类：(1) 求常见函数值域； (2) 求由常见函数
复合而成的函数的值域； (3) 求由常见函数
作某些“运算”而得函数的值域．
3．求函数解析式举例
例 3．已知 xy ＜0，并且 4x 2 -9y 2 =36．由
此能否确定一个函数关系 y=f(x) ？如果能，
求出其解析式、定义域和值域；如果不能，
请说明理由．
分析 ： 4x 2 -9y 2 =36 在解析几何中表示双
曲线的方程， 仅此当然不能确定一个函数关
系 y=f(x) ，但加上条件 xy＜0 呢？
所以
因此能确定一个函数关系 y=f(x) ．其定义
域为 (-∞， -3)∪(3，+∞)．且不难得到其值
域为 (-∞， 0)∪(0，＋∞ )．说明：本例从某种程度上揭示了函数与解
析几何中方程的内在联系． 任何一个函数的
解析式都可看作一个方程，在一定条件下，
方程也可转化为表示函数的解析式． 求函数
解析式还有两类问题：
(1) 求常见函数的解析式．由于常见函数
( 一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，
对数函数，三角函数及反三角函数 ) 的解析
式的结构形式是确定的， 故可用待定系数法
确定其解析式．这里不再举例．
(2) 从生产、生活中产生的函数关系的确
定．这要把有关学科知识，生活经验与函数
概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以
后部分．
四、函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分
析问题、转化问题和解决问题。方程思想，
是从问题的数量关系入手， 运用数学语言将
问题中的条件转化为数学模型（方程、不等
式、或方程与不等式的混合组） ，然后通过
解方程（组） 或不等式 （组） 来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、 接轨，
达到解决问题的目的。方程思想是：实际问题→数学问题→代数
问题→方程问题。 函数和多元方程没有什么
本质的区别，如函数 y＝f(x) ，就可以看作
关于 x、y 的二元方程 f(x) －y＝0。可以说，
函数的研究离不开方程。列方程、解方程和
研究方程的特性， 都是应用方程思想时需要
重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函
数思想通过提出问题的数学特征， 建立函数
关系型的数学模型， 从而进行研究。 一般地，
函数思想是构造函数从而利用函数的性质
解题，经常利用的性质是： f(x) 、f 1 (x) 的
单调性、 奇偶性、 周期性、 最大值和最小值、
图像变换等， 要求我们熟练掌握的是一次函
数、二次函数、指数函数、对数函数、三角
函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目
中的隐含