文档介绍：数值分析
主讲 侯晓慧
第四章 数值积分与数值微分
其中F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得。而在实际问题中，大量函数的原函数不容易或根本无法求出。例如，概率统计中常用的概率积分 ,及积分 ，共有n+1个。
，且各系数与积分区间无关。
≥8时，柯特斯系数出现负数，这意味着 这就会产生数值不稳定性，因此高阶N-C公式的效果并不理想，尽管其代数精确度也更高。
§2 等距节点的求积公式
三、常用的N-C公式
n=1时，积分节点为x0=a,x1=b,则数值积分公式为：
（辛普森）公式
n=2时，积分节点为x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b,
柯特斯系数为
数值积分公式为
§2 等距节点的求积公式
n=4时，积分节点为x0=a,x4=b,xk=a+kh,h=(b-a)/4,
柯特斯系数为
则数值积分公式为：
复化求积公式
随着n的增加可以减少积分误差，但高次插值会造成数值不稳定，故采用分段低次插值
分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。
复合梯形公式：
在每个 上用梯形公式：
复化 Simpson 公式：
将区间[a,b]等分n等份，n为偶数(n=2m)
= Sn
梯形公式的代数精确度为1。
（辛浦生）公式的截断误差
抛物线公式的代数精确度为3。
Newton－Cotes公式的截断误差
§3 龙贝格算法
在实际计算中为了保证计算的精度，往往首先用分点xk=a+kh, (k=0,1,…,n)将区间［a,b］分成n个相等的子区间，而后对每个子区间再应用梯形公式或Simpson公式，分别得到：
§3 龙贝格算法
容易验证：
递推关系是数值方法的重要技巧，它具有结构紧凑和便于在计算机上实现的特点。
§3 龙贝格算法
例：用Romberg公式计算积分
解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：
这里
计算
§3 龙贝格算法
计算
§3 龙贝格算法
计算
§3 龙贝格算法
把区间再分半，重复步骤(4)，可算出结果：T16=,S8=,C4=,R2=
至此得|R1-R2|≤，因为计算只用小数点后五位，。因此积分
例：
其中，x0,x1固定在[-1,1]，A0,A1可调节，只有两个自由度，得到的是梯形公式，其代数精确度只有1。如果对求积节点x0,x1也进行适当选取，将有四个自由度，得到如下公式
，上面的求积节点 称为高斯点。
§4 Gauss型求积公式
一、Gauss型求积公式和Gauss点
§4 高斯型求积公式
构造具有2n+1次代数精度的求积公式
将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。
定义：如果n+1个求积节点的求积公式的代数精确度为2n＋1，则这n+1个求积节点称为Gauss点。
证明： “”
x0 … xn 为 Gauss 点, 则公式
至少有 2n+1 次代数精度。
对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：
0
= 0
“” 要证明 x0 … xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次数不大于2n+1 的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明：
设
0
x0 … xn 为 Gauss 点 与任意次数不大于n 的多项式 P(x) （带权）正交。
定理
求 Gauss 点 求w(x)
例：
+
1
0
1
1
0
0
)
(
)
(
)
(
x
f
A
x