相似原理及量纲分析.doc

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(11)
其中m为流体的质量，ρ为流体的密度，为密度比例尺。则动力相似也可以认为作用在原型与模型上所有外力的力多边形几何相似。
并且，要使模型中流动与原型相似，除了上述的三个相似条件之外，还必须使两个流动的边界条件与起始条件相似。符合上述全部条件的这种物理相似则称为流动的力学相似。并且，在上述所有的相似比例尺中，有三个各自独立的基本比例尺δL、δV、δρ，基本比例尺一旦确定，其它一切物理量的比例尺随之确定，则原型与模型之间的一切物理量换算关系也随之确定了。
还需说明一下，两个力学相似的流动还应该具有相同的运动微分方程式。这是因为，流体运动微分方程实质上就是惯性力、压力、粘性力以及其它外力的平衡关系式，两流动相似，则对应点上这些力应当方向一致，大小互成比例。因此，如果两流动相似，应满足同一运动微分方程。反之，如果两流动具有相同的运动微分方程，则它们就具有运动相似与动力相似的性质，而几何相似已包含在运动相似与动力相似之中，因此，如果两个流动满足同一运动微分方程，且具有相似的边界条件与起始条件，那么，这两个流动就是力学相似的。
§13-2 相似原理
由前面的讨论可知，若判定两个流动是否相似，可用检查各种比例尺的方法确定，但是，这样做往往是很繁锁的。实际上，判定两个流动是否相似，可用一个更简便的方法，即相似定理。
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在介绍相似定理之前，先定义相似现象，所谓相似现象，必须满足下述条件：
(1) 描述现象的微分方程组必须相同；
(2) 单值条件相似。单值条件又分为；
① 几何条件，例如几何形状及大小；
② 物性条件，例如密度与粘度；
③ 边界条件，例如进出口及壁面处流速的大小分布；
④ 起始条件，例如初始状态的速度、温度等。
在定常流动的情况下，如果模型与原型采用同样的流体，则单值条件就是几何条件与边界条件。
(3) 同名准则数相等；
上述三个条件，是相似现象的必要与充分条件。
例如，流体质点作直线运动，其运动微分方程为：
与其相似的另一流动，其流体质点的运动微分方程为：
由代入上式，则有
即
由此可见，各相似比例尺是不能随意选取的，必须受上式制约。若将，，代入上式，则可得到
(1)
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St称为均时性准则，St为不变量，且St是个无因次综合量，无因次又称为零因次，而零因次是相似准则的主要属性。均时性准则在研究非定常流动时，要用到。
另外，把St称为变量是因为在同一系统中，某一时刻，不同点或不同截面上的相似准则会有不同的数值；而彼此相似的系统，在对应时刻，对应点或对应截面上，相似准则数应该相等。因此，相似准则不是常量，而称为不变量，例如，在图13-1所示的两个相似流动中

但是
其中Re即雷诺数，在这里又称为雷诺准则。
图13-1 相似原理
雷诺准则可作为描述两个相似的层流流动中，粘性阻力相似的准则。除St、Re外，流体力学中还有重力相似准则(佛汝德相似准则)；紊流阻力相似准则；压力相似准则(欧拉相似准则)；弹性力相似准则(柯西相似准则及马赫相准则)。这里不加详述。将上述准则的表达式列于下面。
均时性准则(又称为时间相似准则)
(2)
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层流粘性阻力相似准则(雷诺相似准则