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二重极限的计算方法小结
内 容 摘 要
本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题因为
所以
(五) 等价无穷小代换
利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限
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例5 求
解 因为故有
所以等价于
故原式为
注 无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”
(六) 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量
充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。
例6 求
解 因为
而
为有界变量
又 故有 原式=0
(七) 多元函数收敛判别方法
当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。
例7 求
解 因为
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而
，故
(八) 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限
有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。
1、讨论当，二元函数的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有从而求得结果。
例8 求
解 令 则当时 ，
于是
2、讨论当时，二元函数的极限，作变量代换，相应有，利用已知一元函数的极限公式。
例9 求 其中
解 因为
当 时，令xy=t,相应有
则
所以
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3、讨论时二元函数的极限
例10 求
解 因为
当 时，令x+y=t,相应有
则
所以
(九) 极坐标代换法
讨论当时，二元函数的极限，必要时可以用极坐标变换，即将求当极限问题变换为求的极限问题。但必须要求在的过程中与的取值无关。注意这里不仅对任何固定的在时的极限与无关，而且要求在过程中可以随r的改变而取不同的值的情况下仍然无关，才能说明存在。
例11 求
解 令
，当时，有
令
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因为
所以
(十) 用多元函数收敛判别的方法
通过缩放法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用两边夹定理来推出结果。
例12 求
解 因为
而
所以
证明二重极限不存在
若二元函数在区域D有定义，是D的聚点。当动点沿着两条不同的曲线（或点列）诬陷趋近于点，二元函数，有不同的“极限”，则二元函数在点不存在极限。依此可以有下面几种方法来证明在区域D上当时极限不存在。
例1 证明不存在
证明 函数的定义域为，当点沿着y轴趋于点(0,0)时，有x=0，而
不存在，
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所以
当P沿着D中某一连续曲线趋近于点时，二元函数的极限不存在，则不存在
证明不存在
证明 函数的定义域为，当点沿着x轴趋于点（0，0）时，=0，当点沿着趋于点（0，0）时
所以 不存在
当P沿着D中两条