文档介绍：容斥原理教师版
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7-7容斥原理
教学目的
认识容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
掌握容斥原理的在组共计数等各个方面
方法一：由此获得参加语文或数学兴趣小组的有：
161217
45(人)．
方法二：根据包含清除法，直接可得：
参加语文或数学兴趣小组的人
参加语文兴趣小组的人
参加数学兴趣小组的人
小组都参加的人，即：2829
12
45(人)．
B
两个
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【稳固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？
【解析】解包含与清除题，绘图是一种很直观、简捷的方法，能够帮助解决问题，
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绘图时注意把不同的对象与不同的地区对应清楚．建议教师帮助学生画
图剖析，清楚的剖析每一部分的含义．
如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又
学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：
43376(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：
583721(人)．
AC
B
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【例
3】一个班48人，达成作业的情况有三种：一种是达成语文作业没达成数学作业；一种是达成数学
作业没达成语文作业；一种是语文、数学作业都达成了．已知做完语文作业的有37人；做完数
学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都达成的有多少人？
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【解析】不妨用下列图来表示：
线段AB表示全班人数，线段
AC表示做完语文作业的人数，线段
DB表示做完数学作业的人数，
重叠部分DC则表示语文、数学都做完的人数．
根据题意，做完语文作业的有
37
人，即AC
37．做完数学作业的有42人，即DB
42．
ACDB37
42
79(人)
①
AB48(人)
②
①式减②式，就有DC794831(人)
所以，数学、语文作业都做完的有
31人．
【稳固】四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的准时科技活动比赛中，老
师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有
42
人，装配好一架飞机模型的同学有
34人．每
个同学都起码达成了一项活动．问：同时达成这两项活动的同学有多少人？
【解析】因423476，7663，所以必有人同时达成了这两项活动．由于每个同学都起码达成了一项
活动，根据包含清除法知，
42
34(达成了两项活动的人数)
全组人数，即76
(达成了两项
活动的人数)63．
766313(人)．也可绘图剖析．
由减法运算法例知，达成两项活动的人数为
【稳固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有
10人，能表演跳舞的有
18人，两种都能表演的
有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？
【解析】根据包含清除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：
1018
7
21(人)．
【稳固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有
32人，参加军棋比赛的有
28人，有18人两项比赛
都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，
B圆表示参加军棋比赛的人，
A与
B重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中
A圆不含阴影的部分表
只参
两项
只参
示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有
321814(人)；图中B圆
加象
比赛
加军
不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有
棋比
都参
棋比
赛的
加的
赛的
281810(人)．由此获得参加棋类比赛的人有
14
18
1042(人)．
A
B
或许根据包含清除法直接得：
3228
1842
(人)．
【例
4】