文档介绍：行列式的展开计算行列式的一种思路是化为三角形行列式求值,另一种思路则是化为较低阶行列式求值,其依据就是行列式的展开。 1 定义在n阶行列式 D中,若化掉元素所在的第 i行与第 j列, 则称剩余元素构成的 n-1 阶行列式为元素的余子式,记为;并称为元素的代数余子式,记为 n阶行列式共有个元素,有个代数余子式。(1 ,1 ) ij a i n j n ? ??? ija ijM ( 1) i j ijM ?? ija ( 1) i j ij ij A M ?? ? 2n 2n 2 例1已知四阶行列式,写出元素的余子式与代数余子式。解: , 1 1 0 1 4 3 2 0 2 7 8 3 5 6 9 4 ?? ? 232a? 23M 23A 23 1 1 1 2 7 3 5 6 4 M ??? ? 2 3 2 3 23 23 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 7 3 5 6 4 A M ? ??? ? ???? 3 对于三阶行列式三组同学分别计算第一组: 第二组: 第三组: 结论: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 11 12 12 13 13 a A a A a A ? ? 21 21 22 22 23 23 a A a A a A ? ? 31 31 32 32 33 33 a A a A a A ? ? 4 定理 n 阶行列式 D等于它的任意一行(列) 各元素与其代数余子式乘积之和,即 11 12 1 21 22 2 1 2 nn n n nn a a a D a a a a a a ?? ????? 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn nn a A a A a A a A a A a A a A a A a A ? ???????? ? ???? ?? ? 11 11 21 21 1 1 12 12 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn nn a A a A a A a A a A a A a A a A a A ? ???????? ? ???? ?? ?计算 n阶行列式时,只须应用其中一个关系式 5 例2已知 4阶行列式 D中第二行的元素自左向右依次为 4,3,2,1,它们的余子式分别为 5, 6,7,8,求 4阶行列式 D的值。解: 21 21 22 22 23 23 24 24 D a A a A a A a A ? ??? 2 1 2 2 2 3 21 21 22 22 23 23 2 4 24 24 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) a M a M a M a M ? ???? ? ????? ? 2 1 2 2 2 3 2 4 4 ( 1) 5 3 ( 1) 6 2 ( 1) 7 1 ( 1) 8 8 ? ???? ????????????????? 6 例 3 计算四阶行列式解: ======== 7 0 4 0 1 0 5 2 3 1 1 6 8 0 5 0 ? ? 7 0 4 0 1 0 5 2 3 1 1 6 8 0 5 0 ? ?(按第 2列展开) 12 22 32 42 0 0 ( 1) 0 A A A A ? ??????? 3 2 7 4 0 ( 1) ( 1) 1 5 2 8 5 0 ?? ??? 64 70 6 ? ??? 7 例 4 计算四阶行列式 1 2 2 1 0 1 1 2 2 0 1 2 0 2 0 1 例 5 计算四阶行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xxyy ???? 8 例 6 计算 n阶行列式例 7 计算 n阶行列式 0 0 0 0 0