文档介绍：§ 函数
主要内容
㈠ 函数的概念
：y二f(x), x€D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
：
[■f (x)
I g( x)
x e D
1
x e D
2
3. 函数极限存在的判定准则：
设：对于点x0的某个邻域内的一切点
(点 x0 除外)有：
g (x) < f (x) < h (x)
lim g (x) = lim h (x) = A 且：x T xo x - x0
lim f (x) = A
则： xTx0
㈣极限的运算规则
lim u (x) = A, lim v( x) = B 若：
lim[u( x) 土 v( x)] = limu( x) 土 limv( x) = A 土 B
则：①
lim[u (x)・ v (x)] = lim u (x)・ lim v (x) = A ・ B
②
lim
③
u(x)
limu(x)
lim v (x)
(linv(x)主 0)
lim[ u (x) 土 u (x) 土 …土 u (x)]
推论：① 12 n
=lim u (x) 土 lim u (x) 土 ・・・ 土 lim u (x)
1 2 n
lim[c ・ u( x)] = c ・ lim u( x)
②
lim[ u ( x)]n = [lim u ( x)]n
③
1．
lim
x -» 0
sin x
—x
lim 血 9 (X)二 1
(x) — 0 9 ( X )
2．
lim (1 + _) x = e
x — g x
1
lim (1 + x) t = e
x-0
§ 连续
主要内容
㈠ 函数的连续性
x f ( x) x
函数在 0处连续： 在 0 的邻域内有定义，
lim Ay = lim[ f (x + Ax) - f (x )] = 0
1o Ax—0 Ax—0 0 0
lim f (x) = f (x )
2o x- x 0
0
左连续：
lim f (x)二 f (x )
0
x-x0-
右连续：
lim f (x) = f (x )
0 x-x0+
函数在 x0 处连续的必要条件
定理：
f ( x)
在 0 处连续
f ( x)
x
在 0 处极限存在
函数在x0处连续的充要条件:
lim f (x)二 f (x ) o lim f (x)二 lim f (x)二 f (x ) 定理：X 了0 ] 0 x -石 x -陀 0
4. 函数在 a, b 上连续：
f ( x) la bl
在 a b 上每一点都连续。
ab
在端点 和 连续是指：
左端点右连续；
lim f (x) = f (a)
x—a +
limf (x) = f (b)
x—b -
右端点左连续。
a+ 0 b- x
：
x
在 0 处不连续，
f ( x)
的间断点。
间断点有三种情况：
x
1o 在 0 处无定义；
lim f ( x)
2o x- x0 不存在；
lim f ( x)
x
3o 在 0 处有定义，且 x- x0 存在
lim f (x)丰 f (x )
0
但 x- x0 。
两类间断点的判断：
lim f ( x) lim f (x)
特点：
xTx~ 和xTx+ 都存在。
lim f ( x)
可去间断点：
xTx0 存在,但
或
lim f (x)丰f (x0)
x
在 0 处无定义。
2o 第二类间断点：
lim f ( x) lim f (x)
特点：xTX0 和XTX石 至少有一个为g,
lim f ( x)
或 xT x0 振荡不存在。
lim f ( x) lim f (x)
无穷间断点：XTX~ 和XTX+ 至少有一个为g
x
㈡函数在 0 处连续的性质
lim f (x)二 f (x )
设 xT x0
lim g(X) = g(X0)
xTx0
1o
lim[f (x) 土 g(x)] = f (x ) 土 g(x )
00 xTx0
lim[f (x)・ g (x)] = f (x )・ g (x )
00
2o xTx0
1. 连续函数的四则运算：
3o
lim f (X)=
X - X0 g ( X )
f(x0)
0
( \
lim g (x)丰 0
J x T x 丿
0
复合函数的连续性：
y = f (u), u (x), y = f 叩(x)]
lim 申(