文档介绍：第七章线性变换
. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:
1)
2)
3)
4)
在线性空间V中,A 在线性空间V中,A
在 P3 中,A(x1, x2 ,x3) 在 P3 中,a(X1, X2,x3)
,其中 V是 = f(x) xf ; (x)- xf' (x) = f(x)
所以 AB-BA=E.
. 设 A,B 是线性变换,如果 AB-BA=E, 证实： AkB-BAk =kAk 1 (k>1) .
证 k=2 时
A2 B-BA2 =(A2 B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA2=a , 结论成立.
归纳假设k m时结论成立,即 AmB-BAm = mAm m 1时,有
Am 1 B-BAm 1 =(Am 1 B-A m BA)+(A m BA-BAm 1 )=Am (AB-BA)+(A mB-BAm)A=Am E+mAm 1 A= (m
1)Am.
即k m 1结论成立.
.证实：可逆变换是双射.
证 设A是可逆变换,它的逆变换为 A 1.
假设a b ,那么必有Aa Ab,不然设Aa=Ao,两边左乘 A 1 ,有a=b,这与条件矛盾.
其次,对任一向量 b,必有a使Aa=b,事实上,令A1b=,A是一个双射.
.设1, 2, , n是线性空间 V的一组基,： A是可逆变换当
且仅当A 1,A 2, ,A n线性无关.
证因 A( 1, 2, , n)=( A 1,A 2, ,A n)=( 1, 2, , n)A,
故A可逆的充要条件是矩阵 A可逆,而矩阵 A可逆的充要条件是 A 1,A 2, ,A n线性无
关,故A可逆的充要条件是 A 1,A 2 , ,A
.求以下线性变换在所指定基下的矩阵 ：
1)第 1 题 4)中变换 A在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3=(0,0,1)下的矩阵；
2) [o； 1, 2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的
垂直投影,B是平面上的向量对 2的垂直投影,求 A,B,AB在基1, 2下的矩阵；
3)在空间P[x] n中,设变换A为f(x) f(x 1) f(x),
1 ……
试求 A在基 i = x(x 1) (x I 1)一 (I=1,2, ,n-1)下的矩阵 A;
I!
4)六个函数 1 =eax cos bx, 2 =eax sin bx, 3 = xeax cos bx , 4 = xeaxsIn bx ,
1=1 x2 eax cos bx, 1 =1 eax x2sin bx ,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性
2 2
空间,求微分变换 D在基i(i=1,2, ,6)下的矩阵；
5)P3中线性变换 A在基1 =(-1,1,1), 2=(1,0,-1), 3 =(0,1,1)下的矩阵是
1 0 1
1 10, 求 A在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3=(0,0,1)下的矩阵；
1 2 1
6)在P3中,A定义如下:
A i ( 5,0,3)
A 2 (Q 1,6),
A 3 ( 5, 1,9)
其中
i (1,0,2)
2 (0,1,1),
3 (3, 1,0)
求在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3=(0,0,1)下的矩阵;
7)同上,求A在1, 2, 3下的矩阵.
解1)
A 1=(2,0,1)=2 1+ 3, A
2 =(-1,1,0)=- 1 + 2, A 3 =(0,1,0)=
故在基
2)取
(1,
3下的矩阵为 0
0), 2= (0, 1),
1
2 , A 2 ;
_ 1
1
+ —
1 +二
2
2
2
1
2 ,
1
1 =
2
1
故A在基
2下的矩阵为A= 2
2
又由于B
1=0, B
2 = 2 ,所以B在基
2下的矩阵为
B=
,另外,
(AB) 2=A(B 2)
=A 2 =
所以AB在基
2下的矩阵为AB=
3〕由于
1,
1 x,
x(x 1)
2!
x(x
1)
[X
(n 1)!
(n 2)]
0,
所以A 0
(x
1) x
(X
1)x [x
(n 3)]
x(x
1)
[x