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f(A)=Pf()P-1= P 2 P 1 =POP-1=O.
f (n )二、利用相似变换将方阵对角化
n阶方阵A是否与对角阵=diag(1, 2,···, n )相似,
则我们需要解决如下两个问题:
1. 方阵A满足什么条件可与对角阵相似;
2. 如何求方阵A与对角阵相似的相似变换矩阵P.
定理4: n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能相似对角化)
的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
证明: 假设存在可逆阵P, 使P-1AP =为对角阵,
把P用其列向量表示为P=( p1, p2, ···, pn ).
由 -1 得
P AP =, AP = P, 1
即 A( p , p , ···, p ) = ( p , p , ···, p ) 2
1 2 n 1 2 n
n 即 ( Ap1, Ap2, ···, Apn ) = (1 p1, 2 p2, ···, n pn ),
因而有, Api = i pi ( i =1, 2, ···, n ).
可见, i 是A的特征值, 而P 的列向量 pi 就是A的
对应于特征值i 的特征向量.
再由P的可逆性知, p1, p2, ···, pn线性无关.
反之, 由于A恰好有n个特征值1, 2, ···, n, 并可
对应地求得n个线性无关的特征向量p1, p2, ···, pn,
这n个特征向量即可构成可逆矩阵P = ( p1, p2, ···, pn ),
使 AP = ( Ap1, Ap2, ···, Apn ) = (1 p1, 2 p2, ···, n pn )
1
2
= ( p1, p2, ···, pn ) = P.
n
因此, P-1AP =, 即矩阵A与对角矩阵: 设p1, p2, ···, pm是方阵A的分别对应于m个
互不相等的特征值1, 2, ···, m的m个特征向量,
则p1, p2, ···, pm线性无关.
推论: 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,
则A与对角阵相似.
说明: 若A的特征方程有重根, 则A不一定有n个线性
无关的特征向量, 从而矩阵A不一定能对角化. 但如果
能找到n个线性无关的特征向量, : 判断下列实矩阵能否化为对角阵:
1 2 2 2 1 2
A 2 2 4, B 5 3 3.
2 4 2 1 0 2
1 2 2
解: | A–E | = 2 2 4
2 4 2
=(–2)2(+7) = 0
得A的特征值: 1=