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§3牛顿（Newton）迭代方法
一、Newton迭代方法的计算公式牛顿迭代法计算公式的推导过wton迭代对策计划的计算公式

可是，充分的程度没有详细的描绘，而且，若x0的值没有取好，有可能得不到收敛的结果。
牛顿迭代法收敛的一个保证条件。补充定理：设f(x)在[a,b]区间上的二阶
导数存在，且知足：①f(a)f(b)0；②x[a,b],f(x)不变号；x[a,b],f(x)保持符号不变。④初始值x0[a,b],f(x0)f(x0)0，则牛顿迭代法产生的迭代序列xn收敛于
(x)0在[a,b]区间的唯一根。证明：由①②知方程f(x)0在区间有且只有一个
根，记为x*。
不失一般性，设f(a)0,f(b)0,f'(x)0,f''(x)。按④应取
x0[a,b],f(x0)0由f'(x)0知f(x)为单一增函数，进而知

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x*x0以x0为初值，迭代一次
x1
x0
f(x0)
f
x0
'(x0)
另一方面，将f(x*)在x0处作泰勒展开，得
f(x*)
f(x0)
f'(x0)(x*
x0)
1f''(0)(x*
x0)2
0
2
其中0介于x*和x0之间。将上式两边除以
f'(x0)，
得
f(x*)
f(x0)
*
f''(
0)(x*
x0)
2
f'(x0)
(x
x0)
0
f'(x0)
2f'(x0)
移项得
x
*
f(x0)
f''(0)(x*
x0)2
0
x0
2f'(x0)
f'(x0)
即
x*
x1
0
因而
x*
x1
x0
一般的，若x*
x，同理可证x*
x
x
k
k1
k

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这就说明xk单一下降有下界x*，因此必收敛。
设limx
x，易知x
x*。
k
k
再对迭代格式x
x
f(xk)
两边取极限，
k1
k
f'(xk)
有
x
x
f(x)
f'(x)
由此推得f(x)＝0，即x为f(x)
0的根。又
f(x)0在[a,b]内有唯一根x*，故必有x*
x，
即limxk
x*。
k
例1.
用Newton迭代法成立求
c(c0)
的
迭代公式.
解：重点：找到方程
f(x)
0
，使
c是它的
根.
而
f(x)x
c
知足
c
是方程的
0
根，最好不要出现根号，故作函数f(x)x2c，则f(x)0的正根就是

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