第二型曲线积分与曲面积分的计算方法.doc

文档介绍：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
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第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
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第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.
关键词： 曲面积分；曲线积分

1 引 言
第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，，，并结合具体实例以及教材总结出其特点，.
2 第二型曲线积分
例1 求，其中a，b为正的常数，L为从点A（2a，0）沿曲线y=到点（0，0） 的弧.
方法一：利用格林公式法
，P(x，y)，Q（x，y）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L是域D的边界曲线，L是按正向取定的.
解：添加从点（0，0）沿y=0到点A（2a,0）的有向直线段,
记为 ，
则由格林公式得：
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从而
对于空间第二曲线一般的解题过程为：
若L闭合，P,Q,R对各元偏导数连续

若L非闭，其参数方程为
其中： ，分别为L的起点，终点参数值.
例2 计算空间曲线积分I=，其中曲线L为圆柱面与平面的交线，从X轴正向看，曲线是逆时针方向.
方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用上三角函数的正交性.
解： 令 ， 则

于是I=
方法二：解 ：

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3 第二型曲面积分
例3 计算曲面积分，其中为旋转抛物面 介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.
方法一：利用两类曲面积分的联系

其中是有向曲面上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦.
解： ，






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方法二：分面投影法
如果由给出，则

如果由给出，则

如果由给出，则