文档介绍：重点难点
重点：双曲线定义、标准方程与几何性质．
难点：双曲线几何性质的应用和求双曲线方程．
知识归纳
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
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重点难点
重点：双曲线定义、标准方程与几何性质．
难点：双曲线几何性质的应用和求双曲线方程．
知识归纳
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
2．双曲线的标准方程与几何性质
x
y
误区警示
1．注意双曲线的几何量a、b、c关系是c2＝a2＋b2应与椭圆区别．离心率e的取值范围是e>1.
2．在双曲线有关计算和证明中，要分清焦点在哪个轴上，不知道焦点位置时要分类讨论，或直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，据方程判断焦点的位置时，也要注意与椭圆的区别．椭圆看a与b的大小，双曲线看x2、y2系数的正负．
3．解决与双曲线上的点有关问题时，有时候还要区分点在哪支上．
2．求双曲线的标准方程时，要注意区分焦点在哪个轴上，主要采用待定系数法．
3．焦点弦、焦点三角形问题，要注意双曲线定义的应用．
4．注意a，b，c关系、渐近线方程及e的范围．
[例1] 已知定点A(0,7)、B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
分析：设F(x，y)，利用A、B在以C、F为焦点的椭圆上，可建立动点F与定点A、B、C的关系式，利用|AC|、|BC|，得到|FA|与|FB|的关系，再依据定义或直接法可求出轨迹方程．
解析：设F(x，y)，因为A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴)
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|
解析：(|PF1|＋|PF2|)2＝4m2，(|PF1|－|PF2|)2＝4a2，
∴|PF1|·|PF2|＝m2－a2.∴选C.
答案：C
点评：圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决，请再练****下题：
总结评述：，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用. 若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
答案：C
点评：椭圆与双曲线两种曲线类型的判断决定于x2、y2的系数．本题中关键是要能判断出sinθ和cosθ的符号，从条件易知，只要将sinθ＋cosθ＝ 两边平方转化为sinθ和cosθ的乘积就很容易得出需要的结果了．
已知sinθ＋cosθ＝ ，双曲线x2sinθ＋y2cosθ＝1的焦点在y轴上，则双曲线C的离心率e＝________.
答案：D
点评：此类题求解时，直接依据条件求出各几何量即可完成解答，关键是熟记圆锥曲线的几何性质．
答案：C
答案：D
答案：C
答案：C
[答案] C
(理)(2010·深圳市调研)若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点
( )
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在x轴或y轴上
D．无法判断是否在坐标轴上
[答案] A
[解析] 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程为：x2－y2＝λ，将(m，n)代入x2－y2＝λ得：m2－n2＝λ>0，从而该双曲线的焦点在x轴上．
[答案] B
[答案] C
4．(2010·湖南长沙雅礼中学)过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
[答案] B
[解析] 过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则|AB|＝4；若l经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.
[答案] D
[答案] D
[答案] C
[答案] B