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由已知，得
 1 1 0
 0 1 1
A＝  
1 1 1
因为 A ≠0，所以 1， 2， 3 是 V 的一组基。
设 g1,g2,g3 是 1， 2， 3 得对偶基，则
（g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ） 1
 0 1 1
 1 1 2 
＝（f1,f2,f3）   
1 1 1
因此
g1=f2-f3
g2=f1-f2+f3
g3=-f1+2f2-f3
V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是 V * 中非零向量，试证：  ∈V，使
fi( )≠0 (i=1,2…,s)
证：对 s 采用数学归纳法。
当 s＝1 时，f1≠0,所以   ∈V，使 fi( )≠0，即当 s＝1 时命题成立。
假设当 s=k 时命题成立，即  ∈V，使 fi( )= i≠0 (i=1,2…,k)
下面证明 s=k+1 时命题成立。
若 f ( )≠0,则命题成立，若 f ( )＝0，则由 f ≠0 知，一定  ∈V
k 1 k 1 k 1
使 f (  )＝b,设 fi(  )=di(i=1,2…,k),于是总可取数 c≠0，使
k 1
ai+cdi≠0(i=1,2…,k)
令    c ，则 ∈V，且fi( )=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)
f ( )＝cb≠0
k 1
即证。
5．设 1， 2，… s 是线性空间 V 中得非零向量，试证：
fi( )≠0 (i=1,2…,s)
i
证：因为 V 是数域 P 上得一个线性空间，V * 是其对偶空间，若取定 V 中得一个非零向量 ，
则可定义 V * 的一个线性函数 ** 如下：
 ** (f)=f( ) (f∈V * )
且 ** 是 V * 的对偶空间（V * ) * 中的一个元素，于是，V 到其对偶空间的对偶空间（V * ) * 的
映射
 → **
是一个同构映射，又因为 1， 2，… s 是 V 中的非零向量，所以 1 ** ， 2 ** ，… s **
对偶空间 V * 的对偶空间（V * ) * 中的非零向量，从而由上题知， f∈V * 使
f( )＝ i ** (f) ≠0 (i=1,2…,s)
i
即证.
V＝P[x] ,对 P(x)=C0+C1x+C2x 2 ∈V,定义