泛函分析.doc

文档介绍：泛函分析
《泛函分析》题库建设填空题（120个空）
一、填空题（120个空）
1、在度量空间的定义中，不等于 集，距离应满足 ； ； 三个条件，度量空间的完备的充要条件是 。7、设是一个内积空间，若的子集满足① ；② ；③ ；则称为的赋范正交系。
28、设是度量空间中的子集，如果存在不在的任何半径不为零的开球中稠密，称是中的 集，凡第一纲集都可以表示成 并集，不是第一纲集的集合称为 集。
29、设是线性空间，是中的极大线性无关组，则称的基数为的 数，称为的一组 ，若的基数为有限数，则称为 空间；否则称为 空间；如果只含零元素，则称为 空间。
30、设是两个赋范线性空间，我们以表示 全体。以及对数域中的任一，若令 ； ，则按此定义的加法和乘法构成 空间，在空间中，当为 空间时，是巴拿赫空间。
31、设都是希尔伯特空间，都是由中的有界线性算子，分别是的共轭算子，数是复数，则有 ；
； ； ；当时， ；
32、设是一个度量空间，是的非空子集，如果存在，使，称为的 点。如果存在，使，称为的 点；若在中有一个点列收敛于，则称为的 点。如果是开集，则中所有点都是它的 点，如果是闭集，那么 。
33、设是内积空间，是的子集，称集合为在中的 ；简记为 ，它与有且仅有一个公共元素是 ；当时，这个集合中存在 元素。
34、设是希尔伯特空间的两个酉算子，那么 ；当时， ；是 算子；是 算子。
35、设是赋范线性空间，是定义在上的泛函，若满足
① 为数；② ，则称为定义在的次线性泛函。
《泛函分析》判断题（40个）
二、判断题
1、若集合在集合中稠密，则。 （ ）
2、若是一个紧集，那么度量空间一定是完备的度量空间。 （ ）
3、线性空间中的有界线性泛函一定连续。 （ ）
4、所有的内积空间都是希尔伯特空间。 （ ）
5、所有有界线性算子都是有界算子。 （ ）
6、在每一个赋范线性空间上，都可以定义向量与向量的内积，使其成为内积空间。 （ ）
7、完全规范正交系都是完备规范正交系。 （ ）
8、希尔伯特空间中的保范算子都是酉算子。 （ ）
9、离散度量空间的个数是有限的。 （ ）
10、设是度量空间中的点集，为有界集的充要条件是。（ ）
11、在度量空间中，距离是一个二元连续泛函。 （ ）
12、在度量空间中所有的极限都是点列极限。 （ ）
13、微分算子和积分算子都是有界线性算子。 （ ）
14、所有度量空间中的内点一定是聚点。 （ ）
15、若是一个线性空间，是定义在上的一个连续线性泛函，那么一定是的闭线性子空间。