文档介绍：高一数学
一、本讲进度:§ (~112)
二、本讲内容:1、平面向量的坐标表示
2、向量运算的坐标表示
3、向量平行的坐标表示
三、重点、难点选讲:
1、平面向量的坐标表示:上一节中的“平面向量基本定理”指出:只要给定平面上任一对不共线向量为基底,就可以用这一对基底表示平面上的任何向量,本节就是取平面直角坐标系中的x轴、y轴上的单位向量为基底,并用这对基底来表示平面上的任何向量.
对于平面上的任何位置的向量(起点不一定在原点),若点A、B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则有=(x2-x1,y2-y1),这就是说,平面向量的坐标与该向量的起点、终点的具体位置无关,,可以把坐标原点作为表示向量的起点,即取A(0,0),这时向量的坐标就只需用终点B的坐标确定,.
向量的坐标表示,就是向量的代数表示,由于引入了向量的坐标表示,就把几何问题代数化了,.
向量相等的充要条件是这两个向量的对应坐标分别相等,即设=(x1,y1),=(x2,y2),则=Ûx1=x2,y1=,只要比较两个向量的对应坐标即能判定两个向量是否相等.
2、向量的坐标运算:
设=(x1,y1),=(x2,y2),则±=(x1±x2,y1±y2).λ=(λx1,λy1).
前面几节讲的向量的运算,,要用三角形法则或平行四边形法则来得出,,现在我们已经学习过的向量运算有三种:和、差、实数与向量的积,它们都可以用坐标进行运算,,大家更熟悉,也更容易得出结果.
反之,某些代数问题也可以通过坐标表示这个桥梁,转化为几何问题,利用图形的性质用几何方法来研究,同样也可以得出结论,这就使我们解决问题的途径更多,方法更丰富.
3、平面向量平行的坐标表示,为判定两向量平行给出了一个方便的判断准则.
向量的平行的充要条件:设=(x1,y1),=(x2,y2),(≠)则∥Ûx1y2-x2y1=,相等的两个向量平行,由于两个相等的向量对应坐标相等,即若=(x1,y1),=(x2,y2),且=从而x1=x2,y1=y2,于是必有x1y2-x2y1=0;零向量与任何向量平行,因若=(0,0),=(x2,y2),必有x1y2-x2y1=0.
四、例题:
例1 已知从原点出发的向量的模||=r,(r>0)且从x轴的正向按逆时针方向旋转到向量的角为60°,试求向量的坐标.
解:设的坐标为(x,y),
则x=r cos60°=r, y=rsin60°=r.
故向量的坐标为(r,r).
讲评: 一般的,若以原点为起点的向量的模为r,且从x轴正向到的角为α,则的坐标为(rcosα,rsinα).
例2 设梯形ABCD的顶点坐标为A(-1,2),B(3,4),D(2,1),且AB∥DC,|AB|=2|CD|,求点C的坐标.