文档介绍：递推数列-----------斐波那契数列与黄金分割率
高一数学刘谷黄
教学目标斐波那契数列的通项公式及与黄金分割率的关系
教学课时二课时
基本过程:
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波那契(Leonardo Pisano i,约1170-1250)是意大利的一位著名数学家,1202年,他在所著的《算盘节》中,提出了一个著名而有趣的兔子问题.
假定一对小兔子经过一个月后能够长成一对大兔子,,用表示第个月兔子的总对数,显然, (第1个月只有一对小兔子,第2个月只有一对大兔子), (第3个月一对大兔子生出一对小兔子,总共两对兔子),……我们用下面表示兔子的繁殖规律,图中△表示一对小兔子,○表示一对大兔子,实箭头表示一对小兔子长大成为一对大兔子或表示一对大兔子照样生长,虚箭头表示于对大兔子生出一对小兔子.
于是我们得到一个数列:1,1,2,3,5,8,13,…
仔细观察这个数列,从第3项起每一项都是它前相邻两项的和,它的递推公式是:
根据这个递推公式我们不难计算了,
这就是著名的斐波那契数列.
“斐波那契数列”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(生于公元1170年,籍贯大概是比萨,卒于1240年后)。他还被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年,他撰写了《珠算原理》一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
《珠算原理》刚问世时,仅有为数寥寥的学者才知晓印度—阿拉伯数字。这部著作迅速传播,引起了神圣罗马帝国皇帝腓特烈二世的关注。列昂纳多应召觐见,在皇帝面前受命解决五花八门的数学难题。自此,他与腓特烈二世以及其宫廷学者们保持了数年的书信往来,交换数学难题。
斐波那契数列衍生于《珠算原理》中的一道题目:
某人把一对兔子放入一个四面被高墙围住的地方。假设每对兔子每月能生下一对小兔,而每对新生小兔从第二个月开始又具备生育能力,请问:一年后应有多少对兔子?
正如丹·布朗对我们所言,答案就是1,1,2,3,5,8,13,21,然后可按34,55……一直排列下去。(从第三位起)每位数都是前两位数之和,这是欧洲人所知的第一个此类数列。
1753年,格拉斯哥大学的数学家罗伯特·辛姆森发现,随着数字的增大,两数间的比值越来越接近黄金分割率,或叫神灵构架,或古希腊人所说的“phi”值。该数值为16180339887498948482,是一个与圆周率“pi”相类似的无限不循环小数。它的计算式为=(1+5)/2。
在黄金长方形中,长短边的比例就是黄金分割率。因此,假定短边长度为3,长边的长度就应该是3×162=486。
率先使用斐波那契数列的,是法国数学家埃杜瓦尔·卢卡斯。从那时起,科学家开始注意到自然界中这样的例子,譬如,向日葵花盘和松果的螺线、植物茎干上的幼芽分布、种子发育成形和动物犄角的生长定式。人类从胚胎、婴儿、孩童到成年的发育规律,也遵循着黄金分割率。
以上面所提的黄金长方形为例,如果你切掉一个(边长等于原短边)的正方形,剩下的部分仍