文档介绍：二、数据包络分析（DEA）方法
数据包络分析（data envelopment analysis, DEA）是由著名运筹学家 Charnes, Cooper 和 Rhodes 于
1978年提出的，它以相对效率概念为基础，以凸分析和线性_0,Vi _0, -r,i.
利用 Charnes 和 Cooper （1962） [4]提出的分式规划的Charnes-Cooper 变换：t=1/£ m4Mxio ,
Nr =tur,（r =1川|,9 ,0 =M,（i =1,川,m）变换后我们可以得到如下的线性规划模型： s
Maximize '、」/ryro =n， r 1. m
subject to £ 0xio =1,（2）
sm
.二"-7. ：--,ix^ <0, j =1,i||,n, r -1
」r, •，i -0, r =1,l||,s; i =1,|||,m.
根据线性规划的相关基本理论，可知模型（2）的对偶问题表达形式：
Minimize 功 n subject to xj 'j ±oxio,i =1,2，川，m, j 土 n
、''yrj 'j -yro , r =1,2, HI, s, j 土
,j -0, j =1,2，川，n.
⑶
上述的模型是基于所有决策单元中最优”的决策单元作为参照对象，从而求得的相对效率都是小于等
于1的。模型（2）或者（3）将被求解n次，每次即得一个决策单元的相对效率。模型（3）的经济含义是：为了
评彳D DMUo（oR1,2,|l|,n｝）的绩效，可以用一组假想的组合决策单元与其进行比较。模型（3）的第一和第二个
约束条件的右端项分别是这个组合决策单元的投入和产出。从而，模型（3）意味着，如果所求出的效率最优
值小于1 ,则表明可以找到这样一个假想的决策单元，它可以用少于被评价决策单元的投入来获取不少于
该单元的产出，即表明被评价的决策单元为非DEA有效。而当效率值为1时，决策单元为 DEA有效。有
关DEA有效根据松弛变量是否都为零还可以进一步分为弱DEA有效与DEA有效两类。即通过考察如下
模型中的s] =1,11 Im）与sr[r =1,lll,s）的值来判别。
ms
Minimize 飞 一 Q 6一、Sr ) i 1 r 1 n
subjectto 工 阳为 +§—=eox0, i =1，H],m
i4(4)
n
yrj ..勾-sr =yro, r = 1,111 , s j 1
■j,si-sr' _0, 一i,j,r.
其中e为非阿基米德无穷小量。
根据上述模型给出被评价决策单元
DMUo (oW{l,2,|||,n})有效性的定义:
(4)的最优解满足
,* . I 一， 、■一 ，、，
Q =1 ,则称DMUo为弱DEA有效。
(4)的最优解满足
_ * . . . -4- . . . .. 一 、 、 »
自=1 ,且有s1= 0,与+=0成立，则称DMUo为DEA有效。
(4)的最优解满足
Q <1 ,则称DMUo为非DEA有效。
对于非DEA有效的决策单元，有三种方式可以将决策单元改进为有效决策单元：保持产出不变，减
少投入；保持投入不变增大产出；减小投入的同时也增大产出。CCR模型容许DMU在减小投入的同时也
增加产出。对于 CCR模型，可以通过如下投影的方式将其投向效率前沿面，从而投影所得的点投入产出
组合即为DEA有效。
?o
■*上*、，一
—飞 Xio- si-Xio-(1 --o)Xio- si- Xio,i
%o - yro ' sr— yro, r -1,111, s.
上述投影所得值与原始投入产出值之间的差异即为被评价决策单元欲达到有效应改善的数值，设投入 的变化量为L Xio,产出的变化量为Lyro：
*」
I Xio =Xio -Xo =Xio -(RXio -s ), i =1,…，m
*
I yro — yro - yro — (yrosr ) - yro , r =1,■…s.
(二)BCC模型
CCR模型是假设生产过程属于属于固定规模收益，即当投入量以等比例增加时，产出量应以等比增
加。然而实际的生产过程亦可能属于规模报酬递增或者规模报酬递减的状态。为了分析决策单元的规模报
酬变化情况，Banker, Charnes 与Cooper以生产可能集的四个公理以及Shepard距离函数为基础在 1984
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年提出了一个可变规模收益的模型，后来被称为
BCC的模型[5]。线性形式的BCC模型可表示为:
s
Maximize %%。-u