文档介绍：第4章线性系统的根轨迹分析
幅值条件
相角条件
(4-1-8)
(4-1-9)
(4-1-10)
4-2 根轨迹的绘制规则
绘制根轨迹时，需将开环传递函数化为用极点、
零点表示的标准形式，即
(4-2-1-2]段及[-1，0]段。
5）根轨迹与实轴的分离点坐标
闭环系统特征方程为
由前边分析得知， 不是根轨迹上的点，故舍去。 是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
根轨迹与虚轴的交点
规则七 根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚根，将s=jω代入特征方程式(4-1-6)中，得到
或
(4-2-16)
将上式分为实部、虚部两个方程，即
(4-2-17)
解式(4-2-17)两个方程，可以求得根轨迹与虚轴的交点坐标ω值及与交点相对应的参数k的临界值 。
例4-2-2 求例4-2-1系统根轨迹与虚轴交点的坐标及参数临界值
解 控制系统的特征方程是
令s=jω ，代入上式，得
写出实部和虚部方程
求得参数k的临界值kc=6。当k>kc时，系统将不稳定。
由虚部方程解得根轨迹与虚轴的交点坐标为
代入实部方程，
根轨迹的出射角与入射角
出射角
根轨迹离开复数极点处的切线方向与实轴
正方向的夹角，如图4-2-5中的 。
入射角
根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与
实轴正方向的夹角，如图4-2-5中的
图4-2-5 根轨迹的出射角与入射角
图4-2-6 出射角 的求取
因为
下面以图4-2-6所示开环极点与开环零点分布为
例，说明如何求取出射角 。
在图4-2-6所示的根轨迹上取一试验点S1，使S1无
限地靠近开环复数极点p1，即认为 这时
依据相角条件
由上式求得出射角 为
推向一般，计算根轨迹出射角的一般表达式为
同理可求出根轨迹入射角的计算公式为
(4-2-18)
(4-2-19)
规则八
始于开环复数极点处的根轨迹的出射角按式(4-2-18)计算，止于开环复数零点处的根轨迹的入射角按式(4-2-19)计算。
例4-2-3 已知负反馈系统的开环传递函数为
1)根轨迹的分支数等于2；
2)二条根轨迹起点分别是 。
终点是z1即无穷远处；
3)根轨迹的渐近线：因为n=2，m=1，
所以只有一条渐近线，是负实轴；
4)实轴上的根轨迹：(-∞，-1];
试绘制系统的根轨迹图。
解 令
令s+1=0 ，解得z1=-1
5)根轨迹与实轴会合点坐标
解得
不是根轨迹上的点，故舍去，
是根轨迹与实轴的会合点。
6)求出射角
最后画出根轨迹图，如图4-2-7所示。
图4-2-7 例4-2-3系统根轨迹图
例4-2-4 负反馈控制系统的开环传递函数为
试绘制系统的根轨迹图。
解 由已知的G(s)H(s)
1)渐近线分支数等于4。
2)四条根轨迹分别是p1、p2、p3、p4，终止于无穷远处。
3)根轨迹的渐近线：根轨迹有四条渐近线，它们在实轴上的交点坐标是
渐近线与实轴正方向的夹角分别是
解得： ，这是起源于开环极点
的两条根轨迹脱离实轴时的分离点坐标。
4)实轴上的根轨迹：(-,0)。
5)根轨迹与实轴的分离点坐标。根据式(4-2-15)
6)根轨迹的出射角。根据式(4-2-18)可求得出射角
7)根轨迹与虚轴的交点。起源于开环极点p2、p3的两条根轨迹与虚轴相交，其交点坐标可根据式(4-2-17)求得的实部方程与虚部方程进行计算，即
由虚部方程解得
将ω==。给定系统为1型系统，根据式(4-2-25)可求得该系统的临界开环放大系数kvc
最后绘出该系统的根轨迹图如图4-2-8所示。
8)闭环极点的和与积。系统的特征方程为
求得四个闭环极点之和为
四个闭环极点之积为
已知系统在临界状态时两个闭环极点为
及 kc =、s4 。
图4-2-8 例4-2-4系统根轨迹图
例4-2-5 已知单位负反馈的开环传递函数为
解 将开环传递函数G(s)化为在根轨迹法中常
用的形式
用根轨迹分析开环放大系数K对系统性能的影响，
并计算K=5时，系统的动态性能指标。
按根轨迹图分析，K为任意值时，系统都是稳定的。
当0<K<(1<k