文档介绍：2017/11/11
高二数学新增部分内容 教学建议
松江区教师进修学院数学组陈萍
2017/11/11
新课本高二上的教学内容
分为三个单元:
1 数列和数学归纳法(数列概念、等差数列、等比数列、数学归纳法、归纳─猜想─论证、数列极限、无穷等比数列各项和).
2 高中线性数学(平面向量的坐标表示、矩阵、行列式).
3 算法初步(算法概念、程序框图、计算语句与计算程序).
2017/11/11
向量教学的作用地位
作用地位:向量是近代数学最重要和基本的数学概念之一,是沟通代数、几何、三角的桥梁。它与代数、几何、三角的联系将随着向量的坐标表示逐步具体化。为了说明这种联系,书中给出了向量在推导两角差的余弦公式、在线性方程组解的存在性讨论、在几何证明中应用的例题。这些例题仅是一种启示,更多具体的联系同学们可以在探索中发现。向量实质上是坐标几何(高中二年级第二学期将学习)的反璞归真。可以这样说:向量是继函数概念以外,另一个贯穿整个高中数学的核心概念。
2017/11/11
向量的教育价值
向量是通过位移、力、速度等概念抽象出来的,通过向量的坐标表示,向量与代数、几何、三角建立起广泛的联系。从这里可以看到数学的抽象为向量的广泛应用打下了坚实的基础。数学的抽象,使数学应用更加广泛,这是辨证法。通过向量学习引导学生认识科学抽象的作用。
2017/11/11
向量的发展史
史载,古希腊的亚里士多德(前384-前322)已经知道两个力的合成,可以用平行四边形的法则得到。但是, 集古希腊数学大成的《几何原本》, 没有讨论向量。以后的一千多年中,经过文艺复兴时期, 牛顿创立微积分之后的17、18世纪, 向量的知识没有什么变化。伽利略(1564-1642)清楚地叙述了“平行四边形法则”,仅此而已。这点向量知识,形不成多少有意义的问题, 发展不成一个独立的学科, 因而数学家没有把向量当作一回事。
2017/11/11
向量的发展史
进入19世纪, 事情开始发生变化。“复数”充当了催化剂。丹麦的魏塞尔(1745-1818),瑞士的阿工(1768-1822)发现了复数的几何表示,德面的概念,从而使向量与复数建立起一一对应。这不但为虚数的现实化提供了可能,也为向量的发展开辟了道路。向量表示为一对有序的实数(a, b),是一个重大的进步。
2017/11/11
向量的发展史
当时的数学家想到, 实数可看作一维向量, 复数可看作二维向量,那么一定还有“三维数”、“四维数”, 乃至“N维数”。令人失望的是, 哈密顿发现, 要形成有加减乘除四则运算的数系, 只能是四元数, 而且不得不放弃乘法的交换律。最后发现的八元数, 连结合律也维持不了。除此而外, 其他维数的向量, 根本无法定义四则运算,谈不上构成数系[1]。
[1] 参见罗贤强,从四元数到向量:向量概念演变的历史分析<<西北大学学报(自然科学版) >>2005年04期
2017/11/11
向量的发展史
德国数学家格拉斯曼1844年引入了n 维向量的概念。令人深思的是, N维向量既然不能成为有四则运算的数系, 那么它的结构是什么呢?这是19世纪抽象代数思想的发展的自然思考。研究表明,N维向量全体,可以定义加法和减法,此外还有单个的“数”可以和向量相乘。这就是向量空间(线性空间)的来源。此外, 两个向量可以有“内积”和“外积”,但是它们都没有逆运算, 即没有除法。这是一个不同于“数系”的崭新的数学结构。果然, 在向量空间的舞台上, 产生了具有深远影响的数学成就。
2017/11/11
向量的发展史
“线性”, 是20世纪数学中使用十分广泛的词汇。但是, 中国的中学数学教学中却很少使用。无论是英文还是俄文, 我们常说的“一次方程”和“一次函数”, 原本都是“线性方程(Linear Equation)”和“线性函数(Linear Function)”。至于为什么丢弃“线性”的提法,不得而知。
在大学里, 则大量流行“线性”。“线性代数”、“线性变换”、“线性常微分方程”、““线性偏微分方程”、“线性规划”、“线性算子”、“线性泛函”、“线性控制系统”、“拟线性”、“准线性”等等, 不一而足。
2017/11/11
向量的发展史
相对于大学热衷于向量空间和线性数学, 我国中学的反映比较迟缓。 1980年代, 中学里只有与复数相关的平面向量。那里不谈数量积,只有平行四边形法则孤零零的一点内容, 不成气候。至于三维向量进入立体几何, 则历尽周折。直到1990年代, 仍然势均力敌(据说在国家教材审定委员会里, 4票对4票), 遂有立体几何分两种版本的折中处理办法问世。