文档介绍：: .
§ 变分原理
.. 11 自然变分原理自然变分原理
微分方程的等效积分形式：
δδuLufdTT(()+Ω− ) uBud () Γ= 0
∫∫~~~~ ~~
ΩΓ~
δδδuLudTTT()Ω+ u fd Ω− uBud () Γ= 0
∫∫∫~~~~ ~ ~~
ΩΩΓ~
1
δδuLudT ()Ω+ bt ..( uu ,)
∫ ~~~ ~~
Ω 2
整理得到：δΠ = 0
1
Π=[()]..()uLuTT + u fd Ω + btu
原问题的泛函 ∫ ~~~~ ~
Ω 2 ~变分原理：
变分原理是针对以下积分形式定义的
标量泛函而言，
∂∂uu
Π(uFud )=Ω+Γ ( ,
,...) Eud ( , ,...)
∫∫
∂∂xx
ΩΓ
对于未知场函数u ，任意一个微小的变化δ u ，
使Π()u 取驻值的u 即为问题的控制方程及
边界条件的解。§§. 11 自然变分原理自然变分原理
. 自然变分原理自然变分原理
原问题微分方程和边界条件的等效积分的Galerkin
提法等效于泛函取驻值。反之泛函取驻值则等效于
微分方程和边界条件。
这里泛函可以通过等效积分的Galerkin提法得到。
这种变分原理称为自然变分原理。
例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中
最小能力耗散原理，称为自然变分原理。例如，最小位能原理
体系的总位能：
1
应变能：∫∫UdΩ =ΩεσT d
ΩΩ2
外力势能：−∫∫ufdTTΩ− uTd Γ
ΩΓ
1
势能泛函：Π=()udufduTd∫∫∫εσTTT Ω− Ω− Γ
ΩΩΓ2
: .
§ 变分原理
§§ 自然变分原理自然变分原理
§§ 修正泛函的变分原理修正泛函的变分原理 : .
§ 变分原理
§§ 自然变分原理自然变分原理
§§ 修正泛函的变分原理修正泛函的变分原理 : .
§§. 1 . 1 自然变分原理自然变分原理