文档介绍：函数的周期性与对称性04728
第5炼函数的对称性与周期性
一、基础知识
（一）函数的对称性
1、对定义域的要求：不论是轴对称仍是中心对称，均要求函数的定
义域要得整个函数的性质。
1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
2）图像：只需做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
3）单一区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单一增（减），则在上单一增（减）
4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则存在无数条对称轴，其通式为
证明：对于轴对称
函数的周期为
对于轴对称
注：其中（3）（4）在三角函数中应用宽泛，可作为查验答案的方法
二、典型例题：
例1：设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________
函数的周期性与对称性04728
思路：由可得：的周期，考虑将用中的函数值进行表示：，此时周期
性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：，所以
答案：
例2：定义域为的函数知足，当时，，则（）
.
思路：由，可类比函数的周期性，所以考虑将向进行转变：
答案：D
有话说：虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性近似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行聚拢。
例3：定义在上的函数对随意，都有，则等于（）
.
思路：由及所求可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期
函数，故，而由已知可得，所以
答案：D
例4（2009xx）：定义在上的函数知足，则的值为（）
.
函数的周期性与对称性04728
思路：所给的特点为才有解析式能够求值，而只能经过减少自变量的取值，由所求可联想到判断是否拥有周期性，时，，则有，两式相加可得：，则，即在时周期是6，故
，而
f2f1f0f0f1f0f11
答案：C
有话说：（1）此题的思路依旧是将无解析式的自变量经过函数性质向含解析式的自变量聚拢，而数较大，所以考虑判断函数周期性。
（2）怎样迅速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，察看余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。比如此题中，进而
3）此题推导过程中也有其用处，其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以合用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”进而将自变量放置已知区间内
例5：函数是周期为的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为
___________
函数的周期性与对称性04728
思路：从已知出发可知时，为增函数，且，所以时，，时，，由偶函数可得：时，，时，。进而可作出草图。由所解不等式可将分为两部分，当时，，所以，当时，，所以，综上解集为：
答案：
例6：已知是定义在上的函数，知足，当时，，则函数的最小值为（）
.
思路：由可得是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由可得为奇函数，所以考虑区间，在时，，所以，而由于为奇函数，所以在时，，所以即为在的最小值，进而也是在上的最小值
答案：B
7：已知定义域为的函数知足，且函数在区间上单一递增，如果，且，则的值（）

思路一：题目xx给了单一区间，与自变量不等关系，所求为函数值
的关系，进而想到单一性，而可得，因为，所以，进而将装入了xx，
所以由可得，下一步需要转变，由可得对于xx心对称，所以有。代
入可得，进而
函数的周期性与对称性04728
思路二：此题运用数形联合更便于求解。先从剖析出对于中心对称，令代入