文档介绍：第四章控制系统根轨迹分析法
根轨迹的概念
试探法
(1)在实轴上取S1= -
S1
jω
σ
0
-
×
×
-p1
-p2
S1对应的
同理，实轴上之间的点都是D(s)=0, dD(s)/ds=0
化简：
因为：
最后得：
根轨迹的分离点：分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。分离点(会合点)是闭环特征方程的重根。
闭环特征方程：
另一种求分离点和会合点的方法
消去k得
例：求闭环根轨迹的分离点坐标。
法一：
法二：
-1
d

规则六根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间的夹角称为出射角；进入复数零点的切线方向与正实轴间的夹角称为入射角。它们的计算公式为：
出射角 = 1800 + [各零点指向本极点的方向角] - [其他极点指向本极点的方向角]
入射角 = 1800 - [其他零点指向本零点的方向角]+ [各极点指向本零点的方向角]
规则七若根轨迹与虚轴相交，其交点处的值和对应的k可由劳斯判据求得，或将s=j代入特征方程，并令其实部和虚部分别相等求得。
根轨迹与虚轴相交，说明系统处于临界稳定状态，
可令劳斯阵列第一列中包含k的项为零，求出k。
如果根轨迹与正虚轴有一个交点，说明特征方程有一对纯虚根，可利用劳斯阵列中s2项的系数构成辅助方程，解此方程可求得交点处的值。若交点多于一个，可用大于2的偶次幂所在行的系数构成辅助方程，求得根轨迹与虚轴的交点
或
根轨迹与虚轴的交点：由s = j 代入闭环特征方程可得，D(j ) = 0，由方程可得交点的值。
例
根轨迹的分离点：
舍去
根轨迹的绘制
与虚轴交点：
代入实部，k’=48
实部
虚部
临界放大倍数
Routh 表：
S3 1 8
S2 6 k’
S1 0
S0 k’ 0
K’=48时，S1行全为0
辅助方程：6S2＋48＝0
根轨迹绘制举例
-1 已知控制系统的开环传递函数为
要求绘制系统的根轨迹。
系统的特征方程为5阶，故根轨迹有5支。
起始点：p1=0; p2=-5; p3=-6; p4=-1+j; p5=-1-j;
终止点：z1=0;(有限零点）有4个无穷远终止点
有四条根轨迹趋于无穷远处，故有四条渐近线：
夹角：
交点：
实轴上的根轨迹位于0~-3及-5~-6之间
根轨迹离开复数极点-1+j的起始角为
根轨迹的分离点
或：
a=[1 66 142 123 45];roots(a)
ans =
-
- +
- -
- +
- - :
用MATLAB求根：d=-
6. 根轨迹与虚轴交点可利用劳斯判据确定。
解得：k=
由：
k=值由以下辅助方程确定：
代入k=：
rlocus([1 3],[1 13 54 82 60 0])
用：
根轨迹绘制举例
-2 已知控制系统的开环传递函数为
要求绘制系统的以T为参变量的根轨迹。
解法：
A与K等价
1. 系统的闭环特征方程：
2. 求等效开环传递函数：
3. 起始点：p12=-1j; 终止点：z1=0, z2= 0, z3= -2
4. 实轴上的根轨迹位于：- ~ -2
5. 从复数极点起始的相角为：
进入原点的终止相角为：
根轨迹绘制举例
-3 已知控制系统的开环传递函数为
要求绘制正反馈系统的根轨迹。
背景：复杂系统中可能局部回路是正反馈子系统。
特征方程变为：
或
幅角条件：
幅值条件：
开环传函：
修正规则三实轴上若某线段右侧的开环零极点个数之和为偶数，则此线段为根轨迹的一部分
修正规则六根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间的夹角称为起始角，进入复数零点的切线方向与正实轴间的夹角称为终止角，计算公式：
修正