文档介绍：实变函数中反例的总结与构造技巧
1 集与点集
设不相交且都为闭集，且至少有一个有界，则其中。若A,B都是无界集，结论就不成立。例如;直线,轴都是闭集，且都无界，它们之间距离不能表示成两点的距离，它们的距离为0，而两点的闭集，必有，因此如果采用上述方法定义外测度，就有，但，这就使成不可测集。即使采用其他定义外测度，使与均可测，那将出现,而，测度的有限可加性就不成立了。
开集的单调性
设是两个有界开集，且，则 .
若将“有界”删去，变为，是开集，且是的真子集，则不一定有。例如：，，虽然是的真子集，但是 .
3 可测函数
设是定义在可测集上的实函数，如果对于任何有限实数 , 都是可测集, 则称为定义在上的可测函数。
连续函数必为可测函数, 但反之不一定成立. 例如 , 对令
是可测函数, 但它不是连续函数.
由于对任意 , 集总是下述三个集合之一 : (当 ) , 中有理点集，当 ( ），, （）, 它们都是可测集,故是上的可测函数, 但它在是点点不连续函数。
若可测，则也可测，但其逆定理不成立。例如：设E为[0，1]上的不可测集，则在[0，1]上连续，所以它在[0，1]可测；但在[0，1]不可测，这是因为，若0E，则不可测，若，则
不可测，所以在[0，1]上不可测。

一致收敛 →几乎处处收敛; 反之不成立。
函数列在开区间[0,1]上几乎处处收敛实际上是处处收敛 , 但并不一致收敛. Rie sz定理 :设在上依测度收敛于 , 则存在子列在上收敛于 . 由依测度收敛于,对〉0，,从而对每一自然 , 存在自然数,使,=1,2,3,.......,并且并且可以假定,令
,，则 ,因此 ,但在上有处处收敛于。其实，
,表示存在某个，使,故时，，即当时，，因而在上，收敛于。
叶果洛夫定理中条件是不可少的，例如考虑R上的函数列 ,每个是上的可测函数，且 =1/2，有,因此定理中所述的对于=1不存在。
可列集的测度必为 0 , 但反过来就不成立了. 即如果 ,不一定有 E 为可列集的结论. 如对于 Cantor 三分集, 虽然有 , 但 Cantor 三分集却具有连续统势.
Cantor 三分集的由来是把闭区间[ 0 , 1] 三等分, 并把中间的 1/ 3 去掉, 然后把剩余的区间依次划分成三等分, 又把每一个中间的 1/ 3 去掉, 无限重复这个过程, 那些留下的点构成的集合就是 Cantor 三分集. 在第一步里, 长度为 1/ 3 的一个区间去掉了; 在第二