文档介绍：摘要【七瑂,ァ,,“琧磁甜,%材厂,跏,,剩【浚【”叩丁,矗琧磁是一个标准的型微分,厂:【且堑谝恍图∑鯠砌积分算子,定义为“琭磁”∑口醒扰晦弧瓶趌卢,,,∈,,篔本文讨论了两类分数阶微分方程的边值问题。在合适的条件下,利用不动点定理和压缩映像原理,获得了相应边值问题解的存在性、唯一性。全文分为三个第一章,首先概述了微分方程,特别是分数阶微分方程的研究状况;其次给出与本文相关的一些预备知识;最后综述本文的主要结论。第二章主要考虑如下非线性分数阶积分微分方程三点边值问题其中琑,运用欢愣ɡ恚玫搅似浣獯嬖谇椅ㄒ坏牧礁龀分条件。第三章主要研究如下形式非线性分数阶微分方程多点边值问题其中琽琽糽⋯肌R,輔,部分。≧,,获得了该边值问题解的存在性和唯一性。最后给出两个例子说明所获得的结果。关键词:导数;边值问题;不动点定理;淮嬖谛裕晃ㄒ恍
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录目摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.第一章绪言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.研究背景⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..本文的主要结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..第二章分数阶积分微分方程三点边值问题解的存在唯一性⋯⋯⋯⋯⋯主要结论及证明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三章一类分数阶微分方程多点边值问题解的存在唯一性⋯⋯⋯⋯⋯应用举例⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.攻读硕士学位期间论文发表情况⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..攻读硕士学位期间参加教学实习、科研活动⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.
第一章绪论研究背景随着微积分的创立,数学家们首次在计算数学领域发现了微分方程这一类问题。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解问题,后来法国数学家克究和丰富了微分方程的理论。微分方程分为常微分方程推⒎址匠两大类,刚开始出现的一个最简单的微分方程就是求的原函数问题。自世纪以来,天文学、几何学、力学、物理学等领域的许多问题都导致了微分方程的产生。当代社会中的一些社会科学问题,例如交通流模型、人口发展模型等也和微分方程息息相关。世纪以来,产生了大量的边缘学科,例如物理学中的电磁流体力学,通讯理论、光学控制,生态学中的海洋动力学,气象力学,地下水动力学,经济分析,传染病、流行病模型等等,这些理论中都出现了许多比较新的微分方程模型。随着社会的快速发展,微分方程的应用领域不断扩大,不仅为传统的科学解决了实际问题,而且已经渗透到控制论、生态学、经济学等各个领域【。同时微分方程的研究不再是局限于求解等问题,而给出了其完善的基本理论,并成为数学科学中重要的研究领域之一。分数阶微分方程是微分方程的一个重要分支,是关于任意阶微分和积分的理论,它与整数阶微积分是统一的,是整数阶微积分的一种推广。整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已被人们普遍接受。很多问题的数学模型都可最终归结为整数阶微分方程的定解问题,无论在理论分析还是数值雷洛、拉格朗日、达朗贝尔、瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉等人又不断地研求解方面它都已有较完善的理论。值得注意的是,当人们对复杂系统和复杂现象进行研究时,经典整数阶微分方程对这些系统的描述将会遇到以下问题:
“如果求导的次数为昙,那将会是怎样的情况函数求分数阶导数呢热纭阶导数。再如,某些函数不满足求导条件,我们枰9乖旆窍咝苑匠蹋⑶乙胍恍┤宋5木椴问陀胧导什环募虿牧匣蛘咄饨缣跫奈⑿「谋渚鸵9乖煨碌哪P停庑┓窍咝阅P臀蘼凼抢砺鄣那蠼饣故鞘档那蠼舛挤浅7彼觥原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微分方程非常适合刻画具有记忆和遗传性质的粒子运动过程,其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势,所以成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。分数阶导数在分数阶微分方程中发挥着重要作用。简单来讲,分数阶导数就求出它的一阶导数、二阶导数,直至刀阶导数。现在的问题是,我们是否可以对是否还可以使用微积分理论对这些函数进行定性性质的研究昵菹喙夭慰早在年,鳯戳艘环庑牛剩骸罢椎际母拍钍否可以自然地推广到非整数阶导数盠’对这个问题感到很新奇,在回信中他反问了一个简单的问题:谡庖荒甑月日,鳯’回信写到:“这会导致悖论,不过我相信总有一天会得到有用的结果。”年眨飧鎏厥獾娜兆颖认为是分数阶微积分的诞生日。