向量四心问题.docx

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向量中的三角形“四心”问题
学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形: .
向量中的三角形“四心”问题
学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重
要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。
结论1：若点o为^abc所在的平面内一点，满足qaob=ob-6c=5cca,则
点O为△ABC的垂心。
证明：由OAOB^OBo5,OACB-OBOC=D,得而•(翁一元”口，即
OBCA=0,所以OELCA。同理可证0A1CBo故O为△ABC的垂心。
结论2:若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
口2,133--j
0A+BC=OB-nCA=OC+AS,则点o为△ABC的垂心。
证明：由oa^^=5b\ca\得贰平颂一弟［三请*便一函口，所
以0E-00=QCPA。同理可证0A-OB=OBOCo容易得到
■■■■■■
0A-OB=OB-OC=OC-0A由结论1知O为△ABC的垂心。
■;.
ABC的重心。
证明：由
2GM=GE+
可证G在中线
结论3：若点G为4ABC所在的平面内一点，满足GA十GB十GC=lj,则点g为八jA-hGB-fGC=0,得一GA=GB十GC。设bc边中点为M,则
仃口，所以一GA=2GM,即点G在中线AM上。设AB边中点为N,同理
CN上，故点G为4ABC的重心。
53=1(5a+ob-poc)
点G为4ABC所在的平面内一点，满足3,则点g
为八ABC的重心。
,
F叩0G=7(04十OB十口。(OG-OA)+(OG-OT)+(OG-OC)=Q/曰
证明：由‘，得*'''，得
r;■■
GA十GB十GC=口。由结论3知点G为乙ABC的重心。
吉论5:
点P为△ABC所在的平面内一点,
□P-0A+1
ABAC
I确|AC|J
llBA||