文档介绍：第四章导热问题的数值解法
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第四章导热问题的数值解法
§4-0 引言
求解导热问题的三种基本方法:(1) 理论分析法;(2) 数值计算法;(3) 实验法
三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法,就是在理论分析的基础上,直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分,这样获得的解称之为分析解,或叫理论解;
(2) 数值计算法,把原来在时间和空间连续的物理量的场,用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程,从而获得离散点上被求物理量的值;并称之为数值解;
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第四章导热问题的数值解法
(3) 实验法就是在传热学基本理论的指导下,采用对所
研究对象的传热过程所求量的方法
3 三种方法的特点
(1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解,可以为实验和数值计算提供比较依据;
b 局限性很大,对复杂的问题无法求解;
c 分析解具有普遍性,各种情况的影响清晰可见
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(2) 数值法:在很大程度上弥补了分析法的缺点,适应性
强,特别对于复杂问题更显其优越性;与实
验法相比成本低
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法,a 适应性不好;
b 费用昂贵
数值解法:有限差分法(finite-difference)、
有限元法(finite-element) 、
边界元法(boundary- element)、
分子动力学模拟(MD)
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§4-1 导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立
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物
理
问
题
的
数
值
求
解
过
程
建立控制方程及定解条件
确定节点(区域离散化)
建立节点物理量的代数方程
设立温度场的迭代初值
求解代数方程
是否收敛
解的分析
改进初场
是
否
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实现过程:以二维矩形区域为例,所谓区域离散化,就是将研究区域分解成有限数量的小区域(单元),单元的顶点(或中心点)称作节点(结点),每个节点都有自己的控制区域,称作控制体(控制容积),控制体内所有特性都是均匀的,节点的温度代表每个控制体的
1 区域离散化
温度。节点之间的距离称为空间步长。节点之间的连线称为网格线,控制容积的分界面称为界面
节点的表示方法:
(m,n)
横坐标节点编号
纵坐标节点编号
x
y
n
m
(m,n)
M
N
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二维矩形域内稳态无内热源,常物性的导热问题
2 例题条件
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x
y
n
m
(m,n)
M
N
3 基本概念:控制容积(元体)、网格线、节点、界面线、步长
二维矩形域内稳态无内热源,常物性的导热问题
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4 建立离散方程的常用方法:
(1) Taylor(泰勒)级数展开法;
(2) 多项式拟合法;
(3) 控制容积积分法;
(4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
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(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式,用节点(m,n)的温度tm,n
来表示节点(m+1,n)而温度tm+1,n
用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m-1,n)的
温度tm-1,n
4-2内节点离散方程的建立方法
(m,n)
(m,n+1)
(m+1,n)
(m,n-1)
(m-1,n)
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