文档介绍：数值传热学
第七章求解椭圆型问题的涡量流函数方法
主讲陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院
热流中心 CFD-NHT-EHT CENTER
2010年11月3日, 西安
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第7 章求解椭圆型问题的涡量流函数方法
强制对流换热涡量流函数方程及其离散
涡量流函数方法中边界条件的确定
固体壁面上涡量流函数条件的确定
涡量流函数法用于求解有限空间中的对流换热
两个著名例子
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强制对流换热涡量流函数方程及其离散
直角坐标系中涡量流函数的定义
强制对流换热涡量流函数控制方程
涡量流函数控制方程的离散化
涡量流函数法的求解步骤
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强制对流换热涡量流函数方程及其离散
此法历史上的作用;消去压力后不存在速度与压
力耦合问题;讨论重点在于边界条件处理。
二维直角坐标系中涡量流函数的定义
1. 流函数ψ(Stream function)
∂ψ∂ψ
对二维不可压流动: = u; = −v
∂y ∂x
连续性方程自动满足:
∂uv∂∂∂ψ∂∂ψ
+=()+ ()− 0
∂xy∂∂∂xy ∂y ∂x
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2. 涡量ω(Vorticity)
对二维不可压流动涡量定义为:
∂uv∂
ω=−
∂yx∂
这一定义与三维涡矢量在z轴上的投影差一个符号:
G GG
ij k
JG ∂∂∂
ω= ∂x ∂∂y z
uv w
∂vu∂
ω=−
z ∂x ∂y
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强制对流换热涡量流函数控制方程
1. ω方程
对二维稳态不可压缩流体,不计重力时,N-S方程为
∂∂uu ∂ p ∂∂22 uu
ρη()()uv+=−++ (1)
∂∂x yxxy ∂∂∂22
∂∂vv ∂ p ∂∂22 vv
ρη()()uv+=−++ (2)
∂∂x yyxy ∂∂∂22
∂∂
[(1)]−[(2)],
为从两式中消去压力梯度, ∂∂yx再利用上述
ω定义式,得ω的扩散-对流方程:
ρη
∂∂ωωωω∂∂22
()()uv+= +
∂∂x y ∂∂x22y
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守恒形式为: ηη
∂∂()()ρuvωρω∂∂∂∂ωω
+ =+()()
∂xx∂∂∂∂xxyy∂
2. ψ方程
将ω定义式中的速度以流函数关系式代入:
∂uv∂∂∂∂∂ψψ∂∂22ψψ
ω=−=−−() ( ) + −=0
∂yx∂∂yy∂∂∂ x x ∂∂xy22
ω
3. T 方程
∂∂()()ρuTρλ vT ∂∂∂∂ T λ T R
+ =++()()
∂∂∂∂∂∂xxxcxpppy c y c
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4. ω−ψ− T 的通用控制方程
∂∂()()auφφφ avφ∂∂∂∂
+ =Γ()()φ+Γφφ+S
∂∂∂∂∂∂xxxxyyφφ
∂ψ∂ψ
对流项保留u,v而不用,−代替的原因:上式仅
∂yx∂
是通用对流扩散方程的一个例子,二维通用程序同样
可以计算涡量流函数。
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涡量流函数控制方程的离散化
,ω,,ψ T 置于同一套网格上
2. 控制容积法离散,格式选择及源项的线性化等与
原始变量法相同;
3. 确定离散方程系数需要界
面流速,用上一次迭代得出
ψ
的流函数计算:ψ
∂ψψ−ψψψ++()ψ+ψ
u ==) ne se = N NE P E −
ee∂Δyyψψ4 Δ y
+ ++()ψψ+−−ψψ
PE SSE= N NE SS E
4ΔΔyy4 9/36
4. 边界条件:除出口边界外均可表示成第一类的形式。
涡量流函数法的求解步骤
0
ij, 场,计算ω方程的系数与边界值(公式见后)
(1)
,得ωi, j
(1) (1)
, ij 求解流函数方程,得ψ ij,
(1) (1)
ij, 更新边界涡量,得ωB
(1) (1)
ij, ωB 重复2-4步,直至收敛
ij, 计算流速u,v
,v,求解其它标量方程(常物性问题);
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