文档介绍：南京市东山外国语学校
高三数学备课组
参数方程中曲线欣赏
-----渐开线与摆线
1、摆线的定义
思考:P51
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记,那么自行车在笔直
的道路上行使时,白色印记会画出什么样的曲线?
同样地,我们先分析圆在滚动过程中,圆周上的这个动点满足的几何条件。
我们把点M的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线。
上述问题抽象成数学问题就是:当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹是什么?
O
A
B
M
摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。
x
y
O
D
A
E
B
M
C
2、摆线的参数方程
O
A
B
M
根据点M满足的几何条件,我们取定直线为X轴,定点M滚动时落在定
直线上的一个位置为原点,建立直角坐标系。
设圆的半径为r
所以,摆线的参数方程为:
x
y
O
D
A
E
B
M
C
3、摆线的参数方程
O
A
B
M
摆线的参数方程为:
思考:
在摆线的参数方程中,参数的取值范围是什么?
一个拱的宽度与高度各是什么?
说明
摆线是研究一个动圆在一条曲线(基线)上滚动时,动圆上一点的轨迹。
当基线是直线时,就得到平摆线或变幅平摆线。
当基线是圆且动圆在定圆内滚动时,就得到内摆线或变幅内摆线。
当基线是圆且动圆在定圆外滚动时,若两圆外切,就得到外摆线或变幅外摆线。
4、渐开线的定义
探究:
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的
外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切
而逐渐展开,那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨迹方程?
动点(笔尖)满足什么几何条件?
A
B
M
O
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
A
B
M
O
x
y
5、渐开线的参数方程
以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立平面
直角坐标系。
设基圆的半径为r,绳子外端M的坐标为(x,y)。
显然,点M由角唯一确定。
这就是圆的渐开线的参数方程。
6、渐开线的参数方程
A
B
M
O
x
y
渐开线的应用:
由于渐开线齿形的齿轮磨损少,传动平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮,需要借助圆的渐开线方程。
在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力。
直齿
平行轴齿轮传动机构(圆柱齿轮传动机构)
斜齿