第二十章曲线积分和曲面积分的计算.doc

文档介绍：《数学剖析（1，2，3）》教案
§1第一类曲线积分的计算
设函数fx,y,z在圆滑曲线l上有定义且连续，l的方程为
xxt
yytt0tT
zzt
则
fx,y,zds
T，An1
xn1,yn1,zn1为终点B。设
maxAiAi1，这里
AiAi1表示有向
i
线段
AiAi1
的长度。若当
0时，和
有极限I，且它与L的分法无关，也与点
Pi的选择无关，则称I
为f
x,y,z
dx沿曲线L按所述方向的第二类曲线积分，记作
Ifx,y,zdx或I
fx,y,zdx。
L
AB
注：如果向量f
x,y,z
Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z
，则向量沿曲线L按一定方向的第二类曲线积
分为
I
Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz。
L
注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向相关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特点。
注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的地区凑近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。这时只需方向不变，曲线积分的值是与起点的地点无
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《数学剖析（1，2，3）》教案
关的。
二第二类曲线积分的计算
设曲线AB自己不相交，其参数方程为：
xxt,yyt,zzt
t0
tT。
且设AB是圆滑的。设当参数
t从t0调地增加到
T时，曲线从点
A按一定方向连续地变到点
B。设函数
P
x,y,z定义在曲线
AB上，且设它在
AB上连续。则
Px,y,zdx
T0
（*）
Pxt,yt,ztx'tdt。
L
t0
注：（*）积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。
注：如果向量f
x,y,z
P
x,y,z,Q
x,y,z,R
x,y,z
，则向量沿曲线L按一定方向的第二类曲线积
分为
Px,y,zdx
Qx,y,zdy
Rx,y,zdz
L
T0
x't
Qxt,yt,zt
y't
Rxt,yt,ztz'tdt
Pxt,yt,zt
t0
例：计算积分
xydx
(y
x)dy,L的两个端点为A(1,1),B(2,
3).积分从点A到点B或闭合,路径为
L
（1）直线段AB；