文档介绍：单摆测量重力加速度实验的误差分析
吉恒
云南省通海县第二中学，云南，玉溪 652701）
单摆实验是普通物理的基本实验之一, 同时也是必做实验之一。其原理简单、易懂，原则上只要在同一地点进行实验，都应得到相同结果，但在实际操此一般采用测量
l
t2
实验时,若只测量一个时间周期，则测量误差相对较大, 连续摆动n个周期的时间t,此时（5）式变为:
n2l
=4 兀 2 -
t2
6）
以上为基本实验原理，理想情况（即忽略复摆，空气阻力，空气浮力等因素对实验的影响）下只要在同一地点进行实验，都应得到相同结果，但在实际操作过程中一些不可避免的因素会影响实验结果的精度。

摆角范围讨论
在上述实验原理中，谈到当摆角很小时，可将sin9近似为0处理，但未确切说明到底要多小；同时对0角增大了又是怎样的情况也没有考虑进来。因此，若要建立单摆模型，让单摆摆动起来，摆角范围的大小就是首要解决的问题。
记
0 二 p （7）
则单摆非线性动力学方程变为:
8）
p 一 7sin 9
根据增维思想，通过一维变量x三1和X三0的引入，可将式（8）写成矩阵形
9）
式的齐次状态方程:
记
V = b p x 】T V = b
r ?
于是式（8）简写为
1
「0
1
0 _
p x T， H —
0
0
-g sin 0 l
_ 0
0
0 _
0
「0 10 _
J
p
—
0 0 - 5 sin 0
l
l
p >
x
0 0 0 _
X
V 二 HV
根据矩阵分析理论，其解为
10)
V = eHtV
0
其中，V0为初始状态向量，V为任意时刻的状态向量。
为得解的递推表达式，将时间轴等分为N段，即t ,t ,t ,…,t ,t ,…t
012 j j+1 N
时间步长为
At — t — t
j +1 j
则由t时刻的状态向量V ,可求t时刻的状态向量V 。即
j j j +1 j +1
Vj+i = Tj (11)
其中指数矩阵eHAt采用高精度、高效率的精细积分法。
以上是采用高精度、高效率的增维精细积分推导出的求解单摆非线性动力摆角和摆速(取摆角初始速度都为零)的迭推公式。通过单摆线性动力响应与非线性动力响应的对比分析,得出了能简化为线性动力问题的最大摆角值及最大摆角和摆长对非线性动力问题摆角相位、摆速相位的变化规律,即当初始摆角小于
6 = 10o时，采用非线性动力方程求解的摆角时程曲线、摆角速度时程曲线分别 0
与同一问题线性动力方程求得的摆角时程曲线、摆角速度时程曲线几乎完全重合，达到同一周期两者间的相位差很小，可以忽略不计。但是当初始摆角超过
6 = 10o后，随着初始摆角的增大，采用非线性动力方程求得的摆角、摆角速度 0
达到某一平衡位置所需的时间分别比采用线性动力方程所得的摆角、摆角速度达到同一周期平衡位置所需的时间越来越长。因此，当初始摆角大于6 = 10o后， 0 不能采用简化的线性动力方程来求解单摆动力响应，否则所得结果与实际存在较大的差距，而应采用非线性动力方程求解。所以，若要采用简谐运动方程来求解单摆周期公式，实验中单摆的