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数列的应用
江苏省句容高级中学吴鹤群
审稿镇江市教研室黄厚忠庄志红
数列的应用一直是高考的重点,也是热点。经常会出现数列与方程、函数、不等式、三角、几何等其它数学知识的综合应用,难度为中高档题。
高考展望
主要题型
一、等差数列、等比数列的实际应用
、等比混合模型
二、与方程、函数、不等式、三角、几何等其他数学知识的综合应用
解题策略
弄清题意,分析涉及哪些教学内容,在每个教学内容中,各是什么问题。
分解:把整个大题分解成几个小题或“步骤”,判断每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等等。
求解:分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答。
在圆x2+y2=5x内,过点A( , ) 有n(n∈N*)条弦,它们的长度构成等差数列。若a1为过该点最短弦的长,an为过该点最长弦的长,公差d∈( , ),求n的值。
解:如图,由圆的相关知识知弦BC为
过点A的最短弦,DE为最长弦。
不难解得BC=a1=4,DE=an=5
又∵an =a1+(n-1)d,则5=4+(n-1)d
∴(n-1)d=1,n-1= ∈(3,5)
n∈(4,6)且n∈N*
故 n=5
点评:本题是以解析几何为背景考查等差数列通项公式的应用,其中过圆内一点的弦何时最长,何时最短应理解性记忆。
O
B
D
F( 5 , 0 )
E
C
A
x
y
·
M
基础训练 1
点评:本题以增长率为背景考查等比数列,这类问题要分清所有涉及量是an还是Sn,数清项数。
同学们想一想:还有哪些常见实际题也是等比数列型?
人口增长、绿地(森林)覆盖、旧房改造、银行复利等。
基础训练 2
某种产品三次调价,单价由原来的每克512元降到216元,则这种产品平均每次降价的百分率为多少?
解析:设这种产品平均每次降价的百分率为p,则三次调价后
的价格分别为512(1-p)、512(1-p)2、512(1-p)3 它们成等比数列。
由题意知:512(1-p)3=216
某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员。第1名得全部资金的一半多一万元,第2名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第5名恰好资金分完,则此科研单位共拿出多少万元资金进行奖励?
点评:本题是递推型数列应用,主要是弄清题意,求出首项和递推关系。
基础训练 3
解析:设第n名在领取前所剩资金数为s万元,则其应得资金数为记为
an,此时剩余资金为,第n+1名应得奖金数记为an+1,
消去s可建立 an=2an+1 ⑴这样的关系式,
又由题意:到第五名恰好资金分完,则
由⑴⑵可知:
因此:科研单位共拿出62万元资金进行奖励。
例1:在等差数列{an}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项,已知数列成等比数列,求数列{kn}的通项公式
解:由已知得
于是
由成等比数列
得公比
点评;本题是等差与等比混合模型,要点有二,一是akn具有双重性,既是等比数列中的项,又在原等差数列{an}中做项,二是弄清项数即akn在等比数列中为第n+2项。
典型例题1