文档介绍：函数对称性、周期性
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性：对于函数
y = f ( x )
，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个
值时，都有
T ) = - f ( x )
B、
f ( x + T ) =
1
或 f ( x + T ) = -
1
f ( x )
f ( x )
C、
f ( x +
T
) =
1 + f ( x )
或
f ( x +
T
) =
1 - f ( x )
（等式右边加负号亦成立）
2
1 - f ( x )
2
1 + f ( x )
D、其他情形
（ 2 ） 函 数
y = f ( x )
满 足
f ( a + x ) = f ( a - x )
且
f ( b + x ) = f ( b - x )
， 则 可 推 出
f ( x ) = f ( 2 a - x ) = f [ b + ( 2 a - x - b )] = f [ b - ( 2 a - x - b )] = f [ x + 2 ( b - a )]
即
可以得到
y = f ( x )
的周期为 2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于
x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足
f ( x + T ) = - f ( x )
则可以推出其周期是 2T，且可以推出对称轴为
x =
T
+ 2 kT
( k Î z )
， 根 据
f ( x ) = f ( x + 2 T )
可 以 找 出 其 对 称 中 心 为
2
( kT ，0) ( k Î z )
（以上
T ¹ 0
）
如果偶函数满足
f ( x + T ) = - f ( x )
则亦可以推出周期是 2T，且可以推出对称中心
为
(
T
+ 2 kT ,0 )
( k Î z )
， 根 据
f ( x ) = f ( x + 2 T )
可 以 推 出 对 称 轴 为
2
x = T + 2 kT ( k Î z )
（以上 T ¹ 0 ）
（4）如果奇函数
y = f ( x )
满足
f ( T + x ) = f ( T - x )
（ T ¹ 0 ），则函数
y = f ( x )
是
以 4T 为 周 期 的 周 期 性 函 数 。 如 果 偶 函 数
y = f ( x )
满 足
f ( T + x ) = f ( T - x )
（ T ¹ 0 ），则函数 二、 两个函数的图象对称性
y = f ( x )
是以 2T 为周期的周期性函数。
1、
y = f ( x ) 与 y