《实变函数》作业参考答案.docx

文档介绍：《实变函数》作业参考答案
判断题
1 ．对；2．错；3．对； 4．对； 5．错； 6．对；7．错；8．对；9．对；；；。
1 ．证明： ( A ) B (A B).
II
证明：直接的用定义，证明左边包含右《实变函数》作业参考答案
判断题
1 ．对；2．错；3．对； 4．对； 5．错； 6．对；7．错；8．对；9．对；；；。
1 ．证明： ( A ) B (A B).
II
证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。
2 ．试找出使(0,1)和 [0,1] 之间一一对应的一种方法。
证明：令 { x1 , x2 , x3,...}(0,1) ，做 f (x) ，使得
1 xx1
f (x)0 xx2
xn 2 xxn,n2
其它处， f (x) x.
三．证明题
.设fn仪)是E上几乎处处有限的可测函数列，mE ,而fn(x)几乎处处收敛于有限函数f(x),则对
任意的 0,存在常数c与可测集EoE , m(E Eo) ，使在Eo±,对一切n ,有| f(x) | c。
证明：直接利用鲁津定理。
.证明：证明CG {x| f(x) a}是开集，事实上，对任意 x CG,则f(x) a,由连续函数的局部保 号性，存 在 o ，使 得对一切 的 t B(x, ) ，有 f(t) a ， 即 B(x, ) CG ， 所以 x 是 内点， 从而 CG {x|f(x) a}是开集。
.设f(x)在E [a,b]可积，则对任何0,必存在E上的连续函数g(x),使得
b
| f(x) g(x) | dx
a
证明：教材第121 页例 1 。
.设在E上fn(x)f(x),且fn(x)g(x)几乎处处于E上成立，n 1,2,...,试证f(x) g(x)在E上
几乎处处成立。
证明：利用黎次定理，由在 E 上 fn (x) f (x) ，得到存在子列fni (x) 使得 lim fn (x) f(x) 几乎处处
ii
成立，在利用控制性 fn(x) g(x),所以f (x) g(x)在E上几乎处处成立。
.设E1,E2,...,En是［0,1］的n可测子集，假定［0,1］中的任一点至少属于这 n个集合中的q个，证明：必有
q
一个集，它的测度不小于 一
n
证明：令f(x)
Ei i 1
1 1
,则 0 f (x)dx q ,同时 q o f (x)dx mE1 mE2 ... mEn,在利用反证
法，若对所有 i 1,2,..., n ,有 mEi q ,则 q mE1 mE2
n
mEn q ,矛盾。
.设在Cantor集P。上定义函数f (x) 0
,而在Po
1,
的余集中长为二的构成区间上定义
3n
f(x) n, (n 1,2,...)。试证f(x)在［0,1］上可积，并求出积分值。
证明：先说明函数的可积性(简单函数的极限)
1
，0 f(x)dx
nF 3.
n 1,2,...,则几乎处处有 fn(x)收敛于
证明：利用黎次定理，由在 E上fn(x) f(x),得到存在子列
fni(X)使得 liim fni(X)
f (x)几乎处处成
立，在利用单调性fn(x)