【精品】PPT课件 5.3 二阶微分方程.ppt

文档介绍：二阶微分方程
主要内容


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一、可降阶的二阶微分方程
这类二阶微分方程的特点是,经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程,然后用前一节介绍的方法来求解.
下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法.
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就得到一个一阶微分方程,即
两边再积分,即连续积分两次就能得到方程(1)的通解.
只要连续积分n次,即可得到含有n个任意常数的通解.
是最简单的二阶微分方程,
(1)
方程
两边积分,得
同理,对于方程
(2)
3
例1
解
对所给的方程连续积分三次,得
这就是所求方程的通解.
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因而方程(3)就变为
这是一个关于变量 x , p 的一阶微分方程,可以用前一节所介绍的方法求解.
方程
(3)
的右边不显含未知函数 y .
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例2
解
这是关于 p
从而所求微分方程的通解为
于是
即
所以
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例3
解
代入方程并分离变量后, 得
两端积分,得
再积分,得
即
所以
于是所求的特解为
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为了求出它的解,
利用复合函数的求导法则,
于是方程(4)就变为
这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程.
设它的通解为
分离变量并积分,得方程(4)的通解为
方程
(4)
中不显含自变量 x .
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例4
解
方程不显含自变量 x ,
代入方程,得
那么约去 p 并分离变量,得
两端积分并进行化简,得
再一次分离变量并积分,得
显然它也满足原方程.
如果p0,
或
或
如果P = 0,
那么立刻可得 y = C,
已被包含在解中了
但 y =C
所以方程的通解为
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例5
解
两边积分,得
即为所求的满足初始条件的特解.
代入原式,得
即
或
积分后,得
代入上式整理后得
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