文档介绍：Page -1- of 6 第一章函数、极限、连续第一节函数本节主要问题有:(1 )函数的运算(主要是函数的复合运算) ,函数性质的讨论,函数性质主要指单调性、有界性( 这两个性质的讨论主要运用导数)、周期性和奇偶性。(2) 函数方程求解。 1. 函数的运算及函数性质的讨论。这类问题并不难,考试中偶而会出现。例1:(1 )按周期性和奇偶性) tan ln(sec xxy??是_________ 。(2 )设|,1||1|)(xxxf????则________ ))((?xff 。(3 )设,1 )( 2x xxf??则))) (((xfff 的定义域为________ 。解:(1 )以?2 为周期的奇函数(2)?????????????????1,2 11,2 1,2|1||1|)(x xx xxxxf?))((xff????????????1)(,2 1)(1 ),(2 1)(,2xf xfxf xf 即?))((xff????????????????2 1,2 2 1)(2 1,4 2 1,2x xfx x (3)231 ))) (((x xxfff??,定义域为)3 1,3 1(?例2 :设)(xf 在),( ????上有定义,且)()1()1(xfxfxf????, 证明:)(xf 为周期函数. 分析:本题就是要找一个 0?T ,使得)()(xfTxf??,由题中所给的条件容易猜到 T 应该是一个整数, 这就有思路了:由)1()()1(????xfxfxf ,得)()1()2(xfxfxf????, )1()2()3(?????xfxfxf , 至此可得)()3(xfxf???, 由此等式可得)()6(xfxf??, . 2. 函数方程。这类问题有一定难度, 主要原因是学生在平时训练中涉及不多。下面就几种类型举例。类型一:形如 0) ),((?xxfF 的函数方程 Page -2- of 6 )(xf 在0?x 时满足 0 7) 1(4)(3 2????xx fxxf , (1) 求)(xf 的表达式; (2) 求)(xf 的极值. 解: (1)由已知 0 7) 1(4)(3 2????xx fxxf (1) 令t x 1??,代入式(1)得 07)( 4) 1(3 2????ttft t f ,即07)( 4) 1(3 2????xxfx x f (2) 由(1)和(2)可得 x xxf 34)( 3??. (2) 略例4设)(xf 是定义在),( ????内的连续函数,且满足 xxfxf??)2()3( ,求)(xf 。解:由题设知))3 2 ((3 23 )3 2(3 )( 22xfx xxf xxf?????))3 2 (()3 23 23 1(3 23 12xfx x nn n????????????令?? n ,得)0()(fxxf??,即cxxf??)( 。类型二: 形如0), ),,((?yxyxfF 的函数方程。这种类型主要有两类问题:(1) 柯西方程的应用; (2 )转比为微分方程。前者在考试中不多见,后者常见些。先介绍一下柯西方程设)(xf 是定义在),( ????,且满足柯西方程)()()(yfxfyxf???,若)(xf 在0?x 处连续,则 cxxf?)( 。该结论的证明见本节