文档介绍：第三章不等式、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质①(对称性) a b b a ? ??②(传递性) , a b b c a c ? ???③(可加性) a b a c b c ? ????( 同向可加性)dbcadcba??????, ( 异向可减性)dbcadcba??????, ④(可积性) bc ac cba????0, bc ac cba????0, ⑤( 同向正数可乘性) 0, 0 a b c d ac bd ? ?????( 异向正数可除性) 0, 0 a b a b c d c d ? ?????⑥(平方法则) 0 ( , 1) n n a b a b n N n ? ?????且⑦(开方法则) 0 ( , 1) n n a b a b n N n ? ?????且⑧(倒数法则) ba baba ba 110; 110???????? 2、几个重要不等式①?? 2 2 2 a b ab a b R ? ? ?, ,( 当且仅当 a b ?时取" " ?号). 变形公式: 2 2 .2 a b ab ??②(基本不等式) 2 a b ab ???? a b R ??, , (当且仅当 a b ?时取到等号) . 变形公式: 2 a b ab ? ? a b ab ?? ??? ?? ?( 也可用柯西不等式 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) a b c d ac bd ? ???) 用基本不等式求最值时( 积定和最小, 和定积最大), 要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33 a b c abc ? ??( ) a b c R ??、、(当且仅当 a b c ? ?时取到等号). ④?? 2 2 2 a b c ab bc ca a b R ? ?????, (当且仅当 a b c ? ?时取到等号). ⑤ 3 3 3 3 ( 0, 0, 0) a b c abc a b c ? ?????(当且仅当 a b c ? ?时取到等号). ⑥ 0, 2 b a ab a b ? ??若则(当仅当 a=b 时取等号) 0, 2 b a ab a b ? ???若则(当仅当 a=b 时取等号) ⑦b anb nama mba b????????1 其中( 0 0 0) a b m n ? ? ??,, 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 2 2 0 ; a x a x a x a x a ? ???????当时,或 2 2 . x a x a a x a ? ??????⑨绝对值三角不等式. a b a b a b ? ???? 3、几个著名不等式①平均不等式: 2 2 1 1 2 2 2 a b a b ab a b ? ?? ?? ????? a b R ??, , (当且仅当 a b ?时取" " ?号) . (即调和平均?几何平均?算术平均?平方平均) . 变形公式: 2 2 2 ; 2 2 a b a b ab ? ?? ?? ?? ?? ? 2 2 2 ( ) .2 a b a b ?? ?②幂平均不等式: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ... ( ... ) . n n a a a a a a n ? ??????③二维形式的三角不等式: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) x y x y x x y y ? ?????? 1 1 2 2 ( , , , ). x y x y R ?④二维形式的柯西不等式: 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( , , , ). a b c d ac bd a b c d R