三角形 心 的应用 专题辅导 不分版本 试题.doc

文档介绍：三角形“心〞的应用
梁克强
三角形的外心、内心、重心、垂心，以及正三角形的中心与解析几何有关图形的性质有机地结合，可拓宽应用的范围，使很多解析几何问题能简单明快地解决。下面先从一道高考题谈起。
例1. 如图1，双曲线的中心在原三角形“心〞的应用
梁克强
三角形的外心、内心、重心、垂心，以及正三角形的中心与解析几何有关图形的性质有机地结合，可拓宽应用的范围，使很多解析几何问题能简单明快地解决。下面先从一道高考题谈起。
例1. 如图1，双曲线的中心在原点，右顶点为A〔1，0〕，点P、Q在双曲线的右支上，点M〔m，0〕到直线AP的距离为1，当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程。
解：设双曲线方程为
由得
因为M是ΔAPQ的内心，M到直线AP的距离为1
所以∠MAP＝45°
AM是∠PAQ的平分线
且M到AQ、PQ的距离均为1
因此
所以直线，直线
解得
代入得
故所求双曲线的方程为
点评：这是04年高考题，得分率不高。有些同学对“内心〞的概念的理解就很模糊，更别提与圆锥曲线的性质有机结合了。所以加强有关三角形的“心〞的相关训练是很有必要的。
例2. 抛物线的通径为AB，P是抛物线上非A、B的动点，分别过A、B作AP、BP的垂线相交于M点，求M点的轨迹方程。
解：如图2，A、P、B、M四点共圆，圆心就是PM的中点C，即ΔAPB的外心，故C在线段AB的垂直平分线，即x轴上。
设M〔x，y〕，P〔x0，y0〕，那么
而A〔1，2〕
所以
将<1>代入上式得
将<1>和<2>代入抛物线方程，得
整理得
由P与A、B不重合，可知
所以M点的轨迹方程为
例3. 锐角ΔABC的顶点A为动点，底边BC为定线段，它与高AD的长均为2a，求ΔABC的垂心H的轨迹方程。
解：以BC中点O为原点