文档介绍：第3讲 凸集、凸函数、凸规划
凸集 (Convex Set)
凸函数 (Convex Function)
凸规划 (Convex Programming)
凸性(Convexity).
H(S)是包含S 最小凸集.
第10页
定义 锥、凸锥
凸集-----凸锥 (Convex Cone)
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凸函数
凸函数(Convex Function) ----
设
是非空凸集，
若对任意
及任意
都有：
则称函数
为
上凸函数．
注：
将上述定义中不等式反向，能够得到
凹函数定义．
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凸函数
严格凸函数
设
是非空凸集，
若对任意
及任意
都有：
则称函数
为
上严格凸函数．
注：将上述定义中不等式反向，能够得到严格凹函数定义．
第20页
凸函数
对一元函数
在几何上
表示连接
线段．
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点
线段总是位于曲线弧上方．
几何性质
表示在点
处
函数值．
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f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
第22页
f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
第23页
f(X)
X
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X1)
f(X2)
X1
X2
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
第24页
f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
任意两点函数值连线上点都在曲线上方
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
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(a) 凸函数 (b)凹函数
该定义一个应用——证实不等式
例：证实
Young不等式
推广：Hölder不等式
P41
证法：在Young不等式中令
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例：
设
试证实
在
上是严格凸函数．
证实:
设
且
都有：
所以,
在
上是严格凸函数．
凸函数
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例：
试证线性函数是
上凸函数．
证实:
设
则
故,
是凸函数．
类似能够证实
也是凹函数.
凸函数
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凸函数
定理1
设
是凸集
上凸函数充要条件
性质
詹生(Jensen)不等式
不等式应用: 设
，证实:
P41
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凸函数
定理2
性质
正线性组合
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凸函数
定理3
设
是凸集
上凸函数，
则对任意
，水平集
是凸集．
水平集(Level Set)
称为函数f在集合S上关于数 水平集.
注：定理3 逆命题不成立.
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下面图形给出了凸函数
等值线图形，能够看出水平集是凸集.
凸函数
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凸函数
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定理1:
设
是定义在凸集
上，
令
则:
(1)
是定义在凸集
是凸集
上凸函数充要条件是对
任意
一元函数
为
上凸函数.
(2)
设
若
在
上为严格
凸函数，
则
在
上为严格凸函数．
凸函数
凸函数判别定理
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该定理几何意义是：凸函数上任意两点之
间部分是一段向下凸弧．
凸函数
第35页
定理4
设在凸集
上
可微，
则：
在
上为凸函数充要条件是对任意
都有：
严格凸函数(充要条件)??
凸函数
凸函数判别定理---一阶条件
注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸 函数依据.
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凸函数
定理4----- 几何 解释
一个可微函数 是凸函数当且 仅当函数图形 上任一点处 切平面位于曲 面下方.
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凸函数
定理4----- 几何 解释
一个可微函数 是凸函数当且 仅当函数图形 上任一点处 切平面位于曲 面下方.
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定理5:
设在开凸集
内
二阶可微,则
是
内凸函数充要条件为:
对任意
Hesse矩阵
半正定,
其中：
凸函数
凸函数判别定理---二阶条件
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:
设在开凸集
内
二阶可微