文档介绍：*三、二重积分换元法
第二节
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
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二重积分计算法
第九章
第1页
一、利用直角坐标计算二重积分
对应有
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
则除包含边界点小区域外,小区域面积
在
内取点
及射线 =常数, 分划区域D 为
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第10页
即
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第11页
设
则
尤其, 对
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第12页
若 f ≡1 则可求得D 面积
思索: 以下各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
答:
问 改变范围是什么?
(1)
(2)
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第13页
例6. 计算
其中
解: 在极坐标系下
原式
原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角
因为
故
坐标计算.
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第14页
注:
利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用反常积分公式
实际上, 当D 为 R2 时,
利用例6结果, 得
①
故①式成立 .
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第15页
例7. 求球体
被圆柱面
所截得(含在柱面内)立体体积.
解: 设
由对称性可知
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第16页
定积分换元法
*三、二重积分换元法
满足
一阶导数连续;
雅可比行列式
(3) 变换
则
定理:
变换:
是一一对应 ,
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第17页
证: 依据定理条件可知变换 T 可逆.
用平行于坐标轴
直线分割区域
任取其中一个小矩
形, 其顶点为
经过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
形,
其对应顶点为
则
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第18页
同理得
当h, k 充分小时,
曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形,
故其面积近似为
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第19页
所以面积元素关系为
从而得二重积分换元公式:
比如, 直角坐标转化为极坐标时,
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第20页
例8. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成闭域.
解: 令
则
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第21页
例9. 计算由
所围成闭区域 D 面积 S .
解: 令
则
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第22页
例10. 试计算椭球体
解:
由对称性
令
则D 原象为
体积V.
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第23页
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分方法
直角坐标系情形 :
若积分区域为
则
若积分区域为
则
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第24页
则
(2) 普通换元公式
且
则
极坐标系情形: 若积分区域为
在变换
下
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第25页
(3) 计算步骤及注意事项
• 画出积分域
• 选择坐标系
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便
域边界应尽可能多为坐标线
被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少
累次积好算为妙
图示法
不等式
( 先积一条线, 后扫积分域 )
充分利用对称性
应用换元公式
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第26页
思索与练****br/>1. 设
且
求
提醒:
交换积分次序后, x , y交换
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第27页
2. 交换积